¿Cómo calcular el conjunto de ecuaciones de toda la línea en 3D, cuando se proporciona un punto en la línea y el ángulo entre la línea para encontrar y una línea dada?

Tengo dos líneas en el espacio 3d con su punto de intersección y el ángulo entre las dos líneas, cómo encontrar la ecuación del conjunto de líneas desconocidas.

Sea el punto de intersección ( X 1 , y 1 , z 1 ) y el ángulo entre ellos es θ . y la línea dada sea r = ( X 1 , y 1 , z 1 ) + k ( a 1 , b 1 , C 1 ) , dónde a 1 , b 1 , C 1 son relaciones de dirección de la línea dada.

Podemos pensar que en realidad el conjunto de líneas desconocidas define una superficie cónica donde la línea conocida es el eje del cono y el punto de intersección es la punta (vértice) del cono.

Bienvenido a MSE. Será más probable que obtenga una respuesta si nos demuestra que hizo un esfuerzo.
Básicamente soy un programador y encontré el problema mientras resolvía un fenómeno físico.
Hay infinitas rectas que tienen un ángulo de θ con la primera línea y un punto de intersección de pag 0 . Necesita 3 restricciones para determinar una solución única para su problema. Aquí mencionaste 2.
Quiero saber realmente el conjunto de todas esas líneas.

Respuestas (1)

Consulte la página Wiki sobre superficie cónica

Suponga que el eje principal del cono está descrito por el vector unitario d = ( a 1 , b 1 , C 1 ) , entonces una fórmula implícita para la superficie viene dada por

( d ⋅ r ) 2 − ( d ⋅ d ) ( r ⋅ r ) porque 2 ⁡ θ = 0

dónde r = ( X − X 1 , y − y 1 , z − z 1 ) es el vector de coordenadas desde el vértice

La misma fórmula en X , y , z es

[ a 1 ( X − X 1 ) + b 1 ( y − y 1 ) + C 1 ( z − z 1 ) ] 2 − porque 2 ⁡ θ ( a 1 2 + b 1 2 + C 1 2 ) [ ( X − X 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 + ( z − z 1 ) 2 ] = 0

Muchas gracias @Dylan, supongo que esto resuelve mi problema.
la ecuación cartesiana anterior ¿tiene alguna restricción como el vértice en el origen o el eje a lo largo del eje z?
Incluso si solo tiene la ecuación "estándar", todo lo que necesita es cambiarla al nuevo vértice y hacer una rotación. Ambos están incluidos en la fórmula.
Ambas fórmulas son iguales, solo sustituí las coordenadas vectoriales para mayor claridad.
¿Cómo calcular el conjunto de ecuaciones de toda la línea en 3D, cuando se proporciona un punto en la línea y el ángulo entre la línea para encontrar y una línea dada?
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