Encontrar el ángulo entre dos líneas en el plano complejo sin convertir a componentes reales e imaginarias

Question

Encontrar el ángulo entre dos líneas en el plano complejo sin convertir a componentes reales e imaginarias

ángulo
geometría
Matemáticas
análisis complejo

hechos7

¿Cómo encuentras el ángulo entre dos líneas en el plano complejo, sin pasar por la ruta real (rompiendo $z$ en $x+yi$ y resolver encontrando la tangente de las pendientes)?

Por ejemplo, si mis líneas tuvieran la forma

\begin{aligned} a z + \bar{a z} + b & = 0 \\ d z + \bar{d z} + C & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} az+\overline{az} + b &=0 \\ dz+\overline{dz} + c &=0 \\ \end{align}$

para complejo $a$ , $d$ y real $b$ , $c$ .

Sé que podemos determinar si son paralelas o perpendiculares multiplicando $ad$ y viendo si es cero, o si $d$ es un escalar de $a$ , pero esto ayuda? ¿Implicaría esto de alguna manera encontrar el arccos() entre dos vectores?

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias ~

dxiv

Pista:

a z + \bar{a z} + b = 0 ⟺ Re (a z) = - b / 2

$az+\overline{az} + b=0 \iff \text{Re}(az) = -b/2$ significa que

a z

$\,az\,$ se encuentra sobre una recta paralela al eje imaginario.

Juan María

@dxiv ¡De hecho, esta forma de expresión compleja de una línea es muy útil y merece ser mejor conocida!

Respuestas (3)

Encontrar el ángulo entre dos líneas en el plano complejo sin convertir a componentes reales e imaginarias

Pista: $az+\overline{az} + b=0 \iff \text{Re}(az) = -b/2$ significa que $\,az\,$ se encuentra sobre una recta paralela al eje imaginario.
@dxiv ¡De hecho, esta forma de expresión compleja de una línea es muy útil y merece ser mejor conocida!

Martín R. · Answer 1

Denotemos

L_{1} = {z \in C ∣ a z + \bar{a z} + b = 0}, L_{2} = {z \in C ∣ d z + \bar{d z} + C = 0} .

$L_1 = \{ z \in \Bbb C \mid az+\overline{az} + b=0 \} \, ,\\ L_2 = \{ z \in \Bbb C \mid dz+\overline{dz} + c=0 \} \, .$ con

a, d \in C ∖ {0}

$a, d \in \Bbb C\setminus \{ 0 \}$ y

b, c \in R

$b, c\in \Bbb R$ . Desde

a z + \bar{a z} + b = d (\frac{a}{d} z + \frac{b - C}{2 d}) + \bar{d (\frac{a}{d} z + \frac{b - C}{2 d})} + C

$az+\overline{az} + b = d\left( \frac ad z+\frac{b-c}{2d}\right) + \overline {d\left( \frac ad z+\frac{b-c}{2d}\right)} + c$ tenemos

z \in L_{1} ⟺ \frac{a}{d} z + \frac{b - C}{2 d} \in L_{2} .

$z \in L_1 \iff \frac ad z+\frac{b-c}{2d} \in L_2 \, .$

Si $a/d$ no es un número real, entonces las dos líneas se cortan en un solo punto y el ángulo orientado desde $L_1$ a $L_2$ es $\arg(a/d)$ .

De lo contrario, las líneas son idénticas ( $b=c$ ) o paralelo ( $b \ne c$ ).

protagonizada · Answer 2

Cambia tu notación a polar y expresa tus líneas como vectores con ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ . El ángulo intermedio es simplemente su diferencia, por lo que $\Delta \theta$ .

Bienvenido a MSE. Esto parece ser un comentario, no una respuesta.

Juan María · Answer 3

Es más simple, WLOG, trabajar en el origen, traduciendo las ecuaciones de las líneas para que sean:

a z + \bar{a z} = 0, d z + \bar{d z} = 0

$az+\overline{az}=0, \ \ dz+\overline{dz}=0$

dicho de otra manera, como lo ha recordado @dxiv:

\begin{matrix} (1) & ℜ (a z) = 0, ℜ (d z^{'}) = 0 \end{matrix}

$\Re(az)=0, \ \ \Re(dz')=0 \tag{1}$

donde podemos suponer, WLOG de nuevo, que $|a|=|d|=|z|=|z'|=1$ (dónde $z$ y $z'$ ahora se consideran como puntos representativos de sus resp. lineas a distancia $1$ desde el origen).

Con notaciones evidentes, (1) se convierte en:

ℜ ({mi}^{i α} {mi}^{i θ}) = 0, ℜ ({mi}^{i d} {mi}^{i θ^{'}}) = 0

$\Re(e^{i \alpha}e^{i\theta})=0, \ \ \Re(e^{i \delta}e^{i\theta'})=0$

porque (α + θ) = 0, porque (d + θ^{'}) = 0

$\cos(\alpha+\theta)=0, \ \ \ \ \cos(\delta+\theta')=0$

\begin{matrix} (2) & α + θ = π / 2 + k π, d + θ^{'} = π / 2 + k^{'} π \end{matrix}

$\alpha+\theta=\pi/2 + k \pi, \ \ \ \ \delta+\theta'=\pi/2 + k' \pi \tag{2}$

Por lo tanto, al restar las relaciones en (2), obtenemos la "brecha" angular entre las dos líneas:

θ^{'} - θ = \underset{a r gramo (\frac{a}{d})}{\underset{⏟}{α - d}} + k^{″} π

$\theta'-\theta = \underbrace{ \alpha - \delta}_{arg(\tfrac{a}{d})} + k'' \pi$

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dxiv

Juan María

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Juan María

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