Triángulo equilátero específico dados dos puntos en 3D

Question

Triángulo equilátero específico dados dos puntos en 3D

3d
geometría
triangulos
Matemáticas

MXu

Digamos que tengo dos puntos: $A = (x_0, y_0, z_0)$ y $B = (x_1, y_1, z_1)$ .

¿Cómo puedo encontrar un tercer punto? $C = (x_2, y_2, z_2)$ tal que:
a) $A$ , $B$ & $C$ forman un triángulo equilátero
b) el valor de $z_2$ es lo más alto que puede ser

Muchas gracias por su tiempo :)

He probado algunos ejemplos con puntos preestablecidos, formando sistemas de ecuaciones no lineales $AC$ , $BC$ , $DC$ ( $D$ siendo el punto medio de $AB$ ) y luego haciendo algunas derivadas parciales sobre estos resultados. Obtuve lo que estaba buscando para un ejemplo específico (donde $z_0 = z_1 = 0$ ) pero lo estoy haciendo sin cabeza hasta que obtengo lo que quiero y eso no me ha funcionado para ejemplos más complicados (como cuando $z_0\ne z_1$ ).

nmasanta

Bienvenido a MSE. Utilice el formato MathJax para expresiones matemáticas. Consulte math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…

MXu

gracias lo arreglé

g.kov

Qué

C

$C$ esperas llegar cuando

z_{0} \neq z_{1}

$z_0\ne z_1$ pero

x_{0} = x_{1}

$x_0=x_1$ y

y_{0} = y_{1}

$y_0=y_1$ ? En este caso

z_{2} = \frac{1}{2} (z_{0} + z_{1})

$z_2=\tfrac12(z_0+z_1)$ , pero que pasa

x_{2}

$x_2$ y

y_{2}

$y_2$ ?

MXu

jaja si muy buena pregunta. En mi escenario, esto en realidad nunca sucederá, dos puntos nunca tendrán el mismo

x

$x$ y

y

$y$

MXu

pero sí, aunque no sucederá, si es más fácil incluirlo, podríamos decir que cualquier correcto

x_{2}

$x_2$ /

y_{2}

$y_2$ combinación haría

motivos

Tienes dos esferas que se intersecan, según la distancia entre A y B. Entonces podrías usar derivadas para resolver la ecuación para z máximo.

Respuestas (1)

Triángulo equilátero específico dados dos puntos en 3D

Bienvenido a MSE. Utilice el formato MathJax para expresiones matemáticas. Consulte math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
Qué $C$ esperas llegar cuando $z_0\ne z_1$ pero $x_0=x_1$ y $y_0=y_1$ ? En este caso $z_2=\tfrac12(z_0+z_1)$ , pero que pasa $x_2$ y $y_2$ ?
jaja si muy buena pregunta. En mi escenario, esto en realidad nunca sucederá, dos puntos nunca tendrán el mismo $x$ y $y$
pero sí, aunque no sucederá, si es más fácil incluirlo, podríamos decir que cualquier correcto $x_2$ / $y_2$ combinación haría
Tienes dos esferas que se intersecan, según la distancia entre A y B. Entonces podrías usar derivadas para resolver la ecuación para z máximo.

g.kov · Answer 1

Pista.

Dejando a un lado los casos especiales, dejemos $A_z>B_z$ . Considere el punto $D=(x_1,y_1,z_0)$ . $\triangle ADB$ define el plano donde se encuentra el punto buscado $C$ estaría ubicado. Utilice el producto cruzado de $\vec{AB}$ y $\vec{DB}$ rotar $A$ por $60^\circ$ alrededor $B$ .

Editar

Por ejemplo, en términos de un potente lenguaje de gráficos vectoriales descriptivos Asymptote sería simplemente

triple C=rotate(60,B,B+cross(A-B,D-B))*A;

¿Te importaría darme un poco más de información sobre cómo poner en práctica la última oración? Muchas gracias
Lamento presionarlo más, pero no estoy muy familiarizado con este lenguaje de programación :( ¿Le importaría convertir esto en código python o simplemente en una fórmula? Una vez más, muchas gracias por toda la ayuda :)
Usando la fórmula de rotación de Rodrigues ( en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula ) k sería el vector unitario cruzado (AB, DB), v el vector AB y $\theta$ = 60 grados?
@MXu: Eso es exactamente correcto, en este caso $k$ es la unidad $\vec{AB}\times \vec{DB}$ vector, $v$ es el $\vec{AB}$ vector y $\theta= 60^\circ$ .
Bueno, muchas gracias por todo, por ayudarme, y supongo que a muchos más, con nuestros problemas. Mi campo de estudio no es muy popular en este momento, pero me has inspirado para intentar hacer lo mismo. ¡Que tengas un gran día/noche!
@MXu: Gracias. Por si acaso: la fórmula de rotación de Rodrigues da el vector rotado $\vec{v_{\mathrm{rot}}}$ . La ubicación del punto $C=B+\vec{v_{\mathrm{rot}}}$ . Y si va a profundizar en 3D/matemáticas, considere darle una Asymptoteoportunidad, junto con TeXLive(si aún no lo tiene).

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