Rotar plano 3d

Como primer paso, me mudaría$P_1$al origen, de modo que los puntos se vuelven$P_1=(0,0,0)$,$P_2=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$,$P_3=(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$. A partir de ahí solo es cuestión de aplicar una matriz de rotación.

Una matriz de rotación$\mathbf{R}$que conserva todas las distancias y formas, etc. está dada por

$$\mathbf{R}=\left( \begin{array} [c]{ccc}% e_{1}^{x} & e_{2}^{x} & e_{3}^{x}\\ e_{1}^{y} & e_{2}^{y} & e_{3}^{y}\\ e_{1}^{z} & e_{2}^{z} & e_{3}^{z}% \end{array} \right)$$

donde los vectores$\left( e_{1}^{\alpha},e_{2}^{\alpha},e_{3}^{\alpha }\right)$para$\alpha\in\left\{ x,y,z\right\}$son ortogonales y de longitud unitaria, es decir

$$\sum_{i=1}^{3}e_{i}^{\alpha}e_{i}^{\beta}=\left\{ \begin{array} [c]{ccc}% 1 & & \alpha=\beta\\ 0 & & \alpha\neq\beta \end{array} \right. .%$$

Aplicar$\mathbf{R}$, tus puntos rotados$P_{i}^{\prime}=\left( x_{i}^{\prime},y_{i}^{\prime},z_{i}^{\prime}\right)$son dados por

$$\left( \begin{array} [c]{c}% x_{i}^{\prime}\\ y_{i}^{\prime}\\ z_{i}^{\prime}% \end{array} \right) =\mathbf{R}\left( \begin{array} [c]{c}% x_{i}\\ y_{i}\\ z_{i}% \end{array} \right)$$

Sugiero hacer la fila superior de$\mathbf{R}$el vector unitario en la dirección de$P_{1}$a$P_{2}$, es decir

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{x}\\ e_{2}^{x}\\ e_{3}^{x}% \end{array} \right) =\frac{1}{\sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}+\left( y_{1}% -y_{2}\right) ^{2}+\left( z_{1}-z_{2}\right) ^{2}}}\left( \begin{array} [c]{c}% x_{1}-x_{2}\\ y_{1}-y_{2}\\ z_{1}-z_{2}% \end{array} \right)$$

lo que significaría que la línea de$P_{1}$a$P_{2}$se mapea en el$x$-eje.

Calculando lo que podría usar para la segunda y tercera fila de$\mathbf{R}$ahora es solo una cuestión de resolver algunas ecuaciones lineales simples, para asegurarse de que la línea de$P_{1}$a$P_{3}$no tiene componente z.

para resolver por$\left( e_{1}^{z},e_{2}^{z},e_{3}^{z}\right)$, el vector$e_{i}^{z}$debe tener un producto punto cero con ambos$e_{i}^{x}$y$\left( x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}\right)$, entonces las ecuaciones son

$$\begin{align*} e_{1}^{x}e_{1}^{z}+e_{2}^{x}e_{2}^{z}+e_{3}^{x}e_{3}^{z} & =0\\ \left( x_{3}-x_{1}\right) e_{1}^{z}+\left( y_{3}-y_{1}\right) e_{2}% ^{z}+\left( z_{3}-z_{1}\right) e_{3}^{z} & =0 \end{align*}$$

Por eso

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{z}\\ e_{2}^{z}\\ e_{3}^{z}% \end{array} \right) =\lambda_{z}\left( \begin{array} [c]{c}% \left( z_{3}-z_{1}\right) e_{2}^{x}-\left( y_{3}-y_{1}\right) e_{3}^{x}\\ \left( x_{3}-x_{1}\right) e_{3}^{x}-\left( z_{3}-z_{1}\right) e_{1}^{x}\\ \left( y_{3}-y_{1}\right) e_{1}^{x}-\left( x_{3}-x_{1}\right) e_{2}^{x}% \end{array} \right)$$

para algunos$\lambda_z$, que debe determinarse de modo que$e_{i}^{z}$es un vector de longitud unitaria. Finalmente$e_{i}^{y}$se puede determinar como el vector que es perpendicular a ambos$e_{i}^{x}$y$e_{i}^{z}$, es decir

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{y}\\ e_{2}^{y}\\ e_{3}^{y}% \end{array} \right) =\lambda_{y}\left( \begin{array} [c]{c}% e_{3}^{z}e_{2}^{x}-e_{2}^{z}e_{3}^{x}\\ e_{1}^{z}e_{3}^{x}-e_{3}^{z}e_{1}^{x}\\ e_{2}^{z}e_{1}^{x}-e_{1}^{z}e_{2}^{x}% \end{array} \right)$$

donde otra vez$\lambda_{y}$se determina para que$e_{i}^{y}$es un vector de longitud unitaria.

Como sugiere la respuesta aceptada, primero aplique una traducción de$-P_1$a todos los puntos. Tus tres puntos son entonces$O,$ $A,$y$B$(dónde$A=P_2-P_1$y$B=P_3-P_1$). Ahora calcule la unidad plana normal:

$$n = \frac{A \times B}{| A\times B|}.$$

Para rotar el plano a la$xy$avión, todo lo que necesitas hacer es girar$n$a$(0,0,1)$. La forma más sencilla de hacer esto es rotar$n$acerca de$z$eje en el positivo$x$mitad de$xz$plano y luego girar sobre el$y$eje hasta$n$es paralelo al positivo$z$eje.

También podría usar la fórmula de rotación de Rodrigues para rotar sobre el eje$n\times (0,0,1),$pero esta matriz de rotación es mucho más complicada que la matriz para una rotación alrededor de un eje de coordenadas.

Cálculo de la matriz de rotación que gira$n$acerca de$z$eje en el positivo$x$mitad de$xz$plano no requiere calcular un ángulo. La matriz de rotación se da simplemente en términos de$n$:

$$R_z = \left( \begin{array}{lll} n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & 0\\ -n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$$ La matriz de rotación que gira $n'=R_zn$acerca de $y$eje a $(0,0,1)$tampoco requiere calcular un ángulo. Es $$R_y = \left( \begin{array}{lll} n'_z & 0 & -n'_x \\ 0 & 1 & 0\\ n'_x & 0 & n'_z \end{array} \right).$$

Parece que podría beneficiarse al aprender a representar la dirección en 3D usando un vector de dirección. Esto implica aprender a normalizar un vector hasta una unidad de longitud, lo que da como resultado un vector de dirección.

Luego, una vez que te sientas cómodo con eso, aprende a resolver la orientación de (dirección perpendicular a) el plano de un triángulo 3D:

  o <-- normalize[(P2-P1) x (P3-p2)]   (vector cross product of 2 vector diffs)

Ahora, desea definir la rotación de coordenadas 3D deseada que alinea la orientación de su plano triangular con el eje z. Nuevamente, usando productos cruzados, estas son las 3 columnas de la matriz de rotación de 3x3 que desea:

R = [ newXaxis newYaxis newZaxis ] (tres vectores de dirección ortogonal)

Por elección, elige su valor de o como newZaxis.

Los otros dos nuevos ejes deben ser ortogonales a newZaxis y entre sí. El producto vectorial vectorial normalizado le da la dirección ortogonal mutua a cualquiera de las dos direcciones distintas d1 y d2 (siempre que no sean direcciones coincidentes u opuestas):

nuevoEjeX = normalizar(nuevoEjeZ x [ 1 0 0 ] )

(si newZaxis == [ 1 0 0 ], use newXaxis = normalize(newZaxis x [ 0 1 0 ] ) en su lugar

nuevoEjeY = nuevoEjeZ x nuevoEjeY

Ahora, coordina la rotación de cada punto de tu triángulo con el rotador R:

p1' <-- R • p1 (vector multiplicado por una matriz)

p2' <-- R • p2

p3' <-- R • p3

Notará que p1', p2' y p3' tienen coordenadas z idénticas. Puede desecharlos y simplemente usar sus coordenadas x e y. Ha proyectado efectivamente su triángulo en un plano xy 2D.