¿Cómo aparece la estrella que se ha colapsado para formar un agujero negro de Schwarschild para un observador que cae en el agujero negro?

Debe tener mucho más cuidado cuando usa la frase desplazamiento al rojo, debido a cómo se mide la frecuencia en la relatividad general. En términos generales, un fotón se caracteriza por su vector de onda$k$, que es un cuatro vector similar a la luz. La frecuencia medida por un observador es$g(\tau,k)$dónde$g$es el tensor métrico, y$\tau$es el vector unitario tangente a la línea de universo del observador.

Un poco de geometría lorentziana básica te dice que para cualquier fotón dado$k$, instantáneamente puede haber observadores que vean ese fotón con una frecuencia arbitrariamente alta y arbitrariamente baja.

Entonces: comienza con tu espacio-tiempo. Fije un punto en el horizonte de eventos. Repare un fotón que pasa a través de ese evento de espacio-tiempo. Para cualquier frecuencia que desee ver , puede elegir un vector similar al tiempo en ese evento de espacio-tiempo que realiza esa frecuencia. Ahora, dado que el vector es similar al tiempo y el horizonte de eventos es nulo, la geodésica generada por ese vector debe comenzar desde fuera del horizonte de eventos y cruzar hacia adentro. Al ser una geodésica, representa una caída libre. Entonces la conclusión es:

Para cualquier frecuencia que desee ver, puede encontrar un observador en caída libre que comience fuera del agujero negro, de modo que cruce el horizonte de eventos en el evento de espacio-tiempo dado y observe la frecuencia que desea que vea.

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Así que te preguntas, ¿qué es todo este asunto del desplazamiento al rojo gravitatorio de los agujeros negros de Schwarzschild? Escribí una publicación de blog más larga sobre este tema hace algún tiempo y no seré tan detallado aquí. Pero el punto es que en los agujeros negros de Schwarzschild (y en general, en cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein), uno puede romper la libertad dada por la invariancia local de Lorentz usando la geometría global.

En Schwarzschild tenemos que la solución es estacionaria . Por lo tanto, podemos usar el campo vectorial Killing similar al tiempo * para la simetría de traducción temporal como una "regla global" con respecto a la cual medir la frecuencia de los fotones. Esto es lo que se entiende por "corrimiento al rojo gravitacional" en la mayoría de los libros de texto sobre relatividad general (ver, por ejemplo, Wald). Tenga en cuenta que dado que fijamos una regla de fondo, la frecuencia de la que se habla es diferente de la frecuencia "como la ve un observador descendente arbitrario".

(Hay otro sentido en el que a menudo se habla del corrimiento al rojo, que involucra a dos observadores que caen, uno "que sale primero" y el segundo "a continuación". En este caso, nuevamente necesita la simetría de traducción de tiempo para dar sentido a la afirmación de que el segundo observador "partió del mismo punto espacial que el primer observador, pero en un momento posterior).

Resulta que, para soluciones generales esféricamente simétricas, existe algo llamado campo vectorial de Kodama , que coincide con el campo vectorial de Killing en Schwarzschild. Fuera del horizonte de eventos, el campo vectorial de Kodama es similar al tiempo y, por lo tanto, se puede usar como un sustituto de la regla global con respecto a la cual se mide el corrimiento al rojo, cuando se supone que el espacio-tiempo es esféricamente simétrico, pero no necesariamente estacionario. Una vez más, esta noción de corrimiento al rojo es independiente del observador . Y ha jugado un papel importante (aunque a veces se manifiesta en formas que aparentemente no están inmediatamente relacionadas con el desplazamiento hacia el rojo, a través de la elección de coordenadas y otras cosas) en el estudio del colapso gravitacional dinámico y esféricamente simétrico en la literatura de física matemática.

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Resumir:

Si solo compara la frecuencia de la luz medida (a) en su emisión en la superficie de la estrella en el marco de reposo asociado al colapso y (b) por un observador arbitrario en caída libre, puede obtener básicamente cualquier valor que desee. (Básicamente porque el efecto Doppler depende de la velocidad del observador, y puedes cambiar eso a lo que quieras eligiendo los datos iniciales apropiados para la caída libre).

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Un último comentario sobre tu última pregunta:

Preguntaste sobre lo que sucede en el interior del agujero negro. Nuevamente, cualquier frecuencia puede ser detectada localmente por observadores similares al tiempo . Entonces, la pregunta se reduce a si se pueden construir observadores similares al tiempo que provengan de una caída libre que comience fuera del agujero negro. Por consideraciones básicas de causalidad, si comienza con un vector similar al tiempo en un evento de espacio-tiempo dentro del agujero negro formado por el colapso gravitatorio, retrocediendo a lo largo de la geodésica similar al tiempo generada por el vector, golpeará la superficie de su estrella , o salir del agujero negro. Aunque precisamente cómo se dividen los dos depende de la naturaleza precisa del colapso gravitacional.

Debo agregar que si usa el punto de vista de la "regla global", se han presentado argumentos que, de manera análoga a cómo se espera un desplazamiento hacia el rojo cerca del horizonte de eventos, también se deben esperar desplazamientos hacia el azul cerca de cualquier horizonte de Cauchy que debería existir. Esto se ha demostrado (matemáticamente) en los agujeros negros de Reissner-Nordstrom (y similares). Pero como incluso el desplazamiento hacia el rojo a veces puede tener problemas (agujeros negros con carga extrema), uno no debe esperar que la afirmación sobre los desplazamientos hacia el azul cerca de los horizontes de Cauchy sea cierta para todos los espacios-tiempos.

Parece que no puedo encontrar un botón "agregar comentario al responder"; pero con referencia a los comentarios de la respuesta anterior, hazlo, Ron, y sin duda alguien más comentará sobre lo que no estás seguro. Así aprendemos todos.

A medida que la estrella se acercaba al horizonte de sucesos, ¿no se doblaría la luz "casi radial" (hacia el agujero) alrededor del agujero y sería visible, tanto de cerca como de lejos, como un halo?

Esta es una pregunta sutil, porque lo que ves depende de los efectos que compiten entre sí. La respuesta depende exactamente de cómo caes en el agujero negro, ya que la apariencia de los objetos depende en gran medida de tu impulso. Si se aleja de cualquier objeto, el objeto se desplazará al rojo, se extenderá en su campo de visión y se atenuará, y si se acerca a él, se desplazará hacia el azul, se comprimirá en su campo de visión delantero y se iluminará. Esto significa que lo que ve depende de si acelera hacia el agujero negro para estrellarse rápidamente, o si acelera alejándose del agujero negro para que se vea muy impulsado hacia afuera cuando lo cruza (la situación típica para un observador que cae tarde). )

Los rayos de luz en el momento de cruzar el horizonte desde la estrella permanecen en el horizonte para siempre, por lo que siempre puedes (clásicamente) recolectar algo de radiación de la estrella sin importar cuán tarde cruces. Pero el tamaño de la imagen, el brillo de la forma y el cambio de posición dependen de su impulso de tal manera que nunca vea demasiado de la estrella en los últimos momentos. Si te mueves muy rápido hacia el centro del agujero negro, ves una pequeña imagen brillante de la estrella directamente delante, en la dirección de la singularidad cuyo tamaño es inversamente proporcional al tiempo en que cruzas (el parámetro afín de el lugar de su cruce). Si entra de forma natural, lo que significa que pasa un rato acelerando cerca del horizonte para evitar caer, y luego se deja llevar, verá una imagen difusa desplazada hacia el rojo (la misma imagen que antes en un marco diferente),

Solución de horizonte cercano

La forma de horizonte cercano de la solución de Schwartschild se puede encontrar escribiendo$r=2M+u^2$en la coordenada r habitual, como se describe aquí: ¿Por qué el espacio-tiempo cerca de un agujero negro cuántico es aproximadamente AdS? . Obtienes (eligiendo unidades de manera que 2M=1, y llamando al tiempo de Schwartschild$\theta$):

$$ds^2 = - u^2 d\theta^2 + du^2 + (1 + {u^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Este es un espacio de Rindler que cruza una esfera, para que puedas transformarlo en un espacio de Minkowksi.$S_2$utilizando las coordenadas$t=u \sinh(\theta)$ $x=u \cosh(\theta)$

$$ds^2 = - dt^2 + dx^2 + (1 + {x^2 - t^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Esta es la forma del horizonte cercano, incluida la variación de orden principal en el radio de la esfera con la distancia desde el horizonte. El horizonte es el camino de la luz.$x=t$. La región$t>x$dentro del cono de luz delantero del origen está la región en la que se contrae el radio de la esfera, y este es el interior del agujero negro, mientras que la región$t<x$como un espacio y a la derecha del origen es el exterior del agujero negro

El problema es el trazado de rayos en una geometría de Schwarzschild, por lo que hay que considerar los rayos de luz que comienzan en un punto de cruce$x=t=t_0$en el horizonte. El cono de luz hacia atrás desde este punto se puede parametrizar eligiendo un vector que apunta hacia el pasado en M_2 y agregando el componente de longitud apropiado a lo largo de la esfera.

Sin bobinado

El problema principal en la solución del problema es si ve varias imágenes. Los rayos de luz cerca del horizonte que se acercan al exterior viajan lentamente alrededor de la superficie del agujero negro, y puede pensar que puede ver muchas imágenes de la estrella, debido a los rayos que se arrastran lentamente alrededor del agujero negro para llegar a usted desde la estrella después de un devanado.

Esto no es así, porque el tiempo de un devanado siempre es comparable al tiempo que tarda la luz en alejarse de la superficie del agujero negro. Esto es más fácil de ver en la solución cercana al horizonte del producto.

Dado un rayo de luz que entra en tu eya en un ángulo pequeño$\theta$directamente hacia el centro del agujero negro, el hecho de que el rayo no sea el generador del horizonte es proporcional a$\theta^2$, mientras que la componente a lo largo del factor de esfera de la solución del horizonte cercano es proporcional a$\theta$.

Pero si miras la cantidad$x^2-t^2$, cual es$u^2$,la diferencia al cuadrado de la coordenada radial de Schwarzschild de 2M, a lo largo de la geodésica aproximada, es

$$(t-s)^2 - (t - s\cos(\theta))^2 = s(t-s)\theta^2$$

Esta cantidad aumenta hasta un máximo de$(t\theta/2)^2$. Cuando este máximo es comparable a 1, el rayo de luz retrocedido escapa de la región del producto gravitatorio. Esta heurística muestra que el tiempo de escape es para$\theta\propto 1/t$, hasta pequeños factores de orden unidad.

Dado que el tiempo de bobinado también es$t\propto 1/\theta$, no hay devanados --- el rayo de luz escapa de la región del producto cercano al horizonte antes de que pueda dar una vuelta.

Tamaño de la imagen estelar

El tamaño angular de la imagen estelar está determinado por el parámetro afín para escapar de la región del horizonte para un rayo retrotrazado en ángulo$\theta$lejos de la línea hacia el centro del agujero negro.

Dado que la solución parece (casi) un producto junto al horizonte, las geodésicas son simplemente líneas rectas en el espacio de Minkowski, que simultáneamente se enrollan alrededor de la esfera. Sin enrollamiento muestra que la dispersión angular de la imagen de la estrella (suponiendo que ingrese en el mismo marco de impulso que la estrella cuando la estrella cruza el horizonte) es menor que el ángulo que enrollará una vuelta completa en el parámetro afín$t$por donde cruzas.

Esto significa que la dispersión angular de la estrella cae como$1/t$. Esta es la imagen en el marco sin realce, que se define al traducir el marco de la estrella descendente sin realce en el factor de espacio Minkowksi del producto.

Efectos potenciadores

El efecto de impulso es una transformación conforme de la esfera de los rayos de luz entrantes. Esto se describe muy bien en Spinors and Space-Time Vol.1 de Penrose. El efecto cualitativo es claro: si vas muy rápido en una determinada dirección, la luz en tu encuadre tiene un impulso adicional en la dirección opuesta, concentrando la luz en tu campo de visión delantero y desplazándola hacia el azul. La luz detrás de ti se desplaza hacia el rojo y se esparce en el olvido.

Para un agujero negro, la traducción del tiempo a lo largo del horizonte es un impulso, ya que el parámetro de tiempo externo$\theta$es un parámetro de refuerzo. Esto significa que si espera mucho tiempo en las coordenadas externas y observa la misma velocidad traducida al futuro usando el vector de eliminación de tiempo, esta velocidad se ha alejado del centro del agujero negro en una cantidad proporcional al tiempo.

La imagen visual de la estrella solo no se atenúa y se reduce en una cantidad proporcional a t en el "marco de reposo" de la estrella que se derrumba (pongo el marco de reposo entre comillas porque es un marco de referencia del horizonte cercano M_2 x S_2 métrico). No se atenúa porque la naturaleza del producto de la solución no permite que los rayos de luz se dispersen, pero se reduce a un tamaño angular de 1/t porque la mayoría de los rayos no alcanzan la estrella.

Pero cuando caes con la misma velocidad en tiempos tardíos, t, estás impulsando una cantidad proporcional a t. Un impulso en una cantidad proporcional a t extenderá la región angular detrás en una cantidad que crece exponencialmente en t. Esto hace que la imagen se oscurezca exponencialmente, de modo que realmente no verás nada si caes tarde de forma natural.

El desplazamiento hacia el rojo se convierte en un desplazamiento hacia el azul cuando el observador que cae se acerca al horizonte de sucesos. No estoy seguro de si los fotones que ve cuando cruza el horizonte de sucesos volverán a no cambiar en absoluto o si aún habrá un corrimiento al rojo neto o incluso un corrimiento al azul, ¿alguien lo sabe?

Pero la superficie de la estrella se verá cada vez más tenue a medida que el observador que cae se acerca al horizonte de sucesos. Además, el observador solo podrá ver un parche cada vez más pequeño de la superficie de la estrella directamente debajo de él en la dirección radial a medida que se acerca al horizonte de eventos.

La razón de esto es que a medida que la estrella original se acercó al horizonte de eventos, solo los fotones emitidos en un cono cada vez más estrecho a lo largo de la dirección radial podrán evitar caer en el agujero negro. En el horizonte de eventos, solo los fotones emitidos exactamente a lo largo de la dirección radial permanecerán congelados en el horizonte esperando que el observador que cae los vea.

Una vez que el observador pasa más allá del horizonte de eventos, no verá nada en absoluto, ya que el cono de luz delantero apunta hacia adentro en una dirección "espacial" hacia la singularidad.

Finalmente, estas consideraciones afectan lo que ve el observador en el infinito: a medida que la superficie de la estrella se acerca al horizonte de eventos, no solo los fotones se desplazarán cada vez más hacia el rojo, sino que además, el parche de la estrella que el observador en el infinito puede ver será un disco cada vez más pequeño que se encogerá hacia un punto en un tiempo infinito.