¿Puede existir un agujero negro "seguro"? ¿Cuál es el mecanismo para garantizar que esto no suceda?

De hecho, tal estructura no es posible, y se puede considerar que esto dice algo sobre la rigidez.

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Primero algunos cálculos

Considere una parte de tal estructura. Son las coordenadas de Schwarzschild.$(t,r,\theta,\phi)_\mathrm{S}$será$x^\mu = (t,r_0,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{S}$, dónde$t$es un parámetro arbitrario que he elegido para estar de acuerdo con la coordenada de tiempo estándar, y los demás valores son fijos. Es decir, el punto no se mueve excepto a través del tiempo.

Ahora trabajemos en coordenadas Kruskal-Szekeres $(T,X,\theta,\phi)_\mathrm{KS}$, que pasan por el horizonte de eventos sin ningún problema. (Podríamos trabajar en Schwarzschild también y obtener la misma respuesta, pero esto es solo para estar seguros). La transformación está dada por

$$\begin{align} T & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ X & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ \theta & = \theta; \\ \phi & = \phi. \end{align}$$

En estas coordenadas tenemos$x^\mu = (T,X,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{KS}$, dónde$T$y$X$ambos dependen de nuestro parámetro worldline$t$(y parámetro fijo$r$). Dejando que los puntos denoten la diferenciación con respecto a$t$, tenemos$\dot{x}^\mu = (\dot{T},\dot{X},0,0)_\mathrm{KS}$, dónde

$$\dot{T} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases}$$ y $$\dot{X} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M. \end{cases}$$

La métrica está dada por

$$ds^2 = \frac{32M^3}{r} \mathrm{e}^{-r/2M} (-\mathrm{d}T^2 + \mathrm{d}X^2) + r^2 (\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2).$$ Con esto podemos evaluar para nuestra línea de tiempo la cantidad $$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = \frac{2M}{r} - 1,$$ que vale para todos $r$tanto dentro como fuera del horizonte.

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ahora un poco de analisis

La cantidad$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu$es el producto interno de la tangente a la línea del mundo consigo mismo. En particular, una partícula$4$-velocidad$u^\mu$obedece

$$g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \Big(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\Big)^{-2},$$ dónde $\tau$es el tiempo propio de la partícula. Pero para una partícula masiva, $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$siempre. Así podemos resolver para encontrar $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \pm \sqrt{1-\frac{2M}{r}}.$$

El signo determina si estamos o no avanzando o retrocediendo en el tiempo. Pero tenga en cuenta que algo terrible sucede para$r < 2M$: el lado derecho se vuelve imaginario. Es decir, no hay solución para una partícula masiva que viaja a lo largo de la línea del mundo que propusimos, que recordemos se definió como constante en coordenadas angulares y de radio.

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Lo que esto dice sobre el escenario

Ninguna partícula masiva puede resistir moverse hacia el centro del agujero negro. Ninguna aceleración (y son las fuerzas intermoleculares finitas las que aplican aceleraciones finitas para evitar que las partículas en objetos rígidos caigan libremente) hará que esa línea de mundo sea similar al tiempo. De hecho, una vez dentro del horizonte de sucesos, moverse hacia la singularidad es moverse hacia el futuro.

Las propiedades materiales están subordinadas a la estructura del espacio-tiempo. Así como no se puede diseñar un material que sea tan fuerte que pueda evitar avanzar en el tiempo, no se puede diseñar un material que pueda resistir la gravedad dentro de un agujero negro.

Puede hacer un análisis más general que permita$\theta$y$\phi$variar, y el resultado será el mismo. Además, puede demostrar que cualquier línea de tiempo similar al tiempo dentro del horizonte de eventos llegará a la singularidad en un tiempo finito adecuado; ni siquiera puede permitir que la estructura se reduzca continuamente pero nunca llegue al centro. Si el agujero negro está girando, las cosas se ponen... interesantes... pero ese es un análisis para otro momento.

Lo que considero una estructura esférica.$M$, que consiste en un material extremadamente rígido que forma su superficie, que por lo demás es hueca. Así que ahora supongamos$M$es tan denso que está contenido en su radio de Schwarzschild, pero el material es tan rígido que en realidad no colapsa.

No es realista, porque en la práctica no serías capaz de formar tal estructura. Pero no importa, es bueno considerar esas cosas.

Entonces en el centro absoluto de$M$la fuerza gravitacional que uno experimentaría es 0 (de hecho, existe una esfera de volumen distinto de cero alrededor del centro para la cual uno no experimenta cantidades significativas de atracción gravitacional)

Me parece bien. Tenga en cuenta que para un cuerpo gravitatorio ordinario, la fuerza de la gravedad en algún lugar está relacionada con el gradiente local en el potencial gravitacional. Esto, a su vez, se relaciona con el gradiente local en la velocidad "coordenada" de la luz. Puede medir esto de manera efectiva utilizando relojes ópticos en diferentes elevaciones. Los relojes funcionan más lentos cuando están más bajos. Si estás en un lugar como el centro de la Tierra donde todos los relojes a tu alrededor funcionan al mismo ritmo, estás en un lugar donde no hay fuerza gravitatoria.

En ese caso,$M$es un agujero negro, pero no tiene una singularidad, es decir, es un horizonte de eventos que envuelve lo que de otro modo es una pieza de espacio bastante normal.

No es particularmente normal, pero no importa. Podríamos pensar en alguna ubicación gedanken dentro del horizonte de sucesos de un agujero negro supermasivo.

Ahora, no los entiendo muy bien, pero parece que se cree que todos los agujeros negros tienen singularidades.

Eso es lo que dice la gente. Pero si leyera los documentos digitales de Einstein, sospecho que no estaría de acuerdo con la afirmación de que hay una singularidad puntual en el centro de cada agujero negro. El punto crucial es este : "la curvatura de los rayos de luz ocurre solo en espacios donde la velocidad de la luz es espacialmente variable" .

¿Eso implica que este tipo de estructura es imposible?

No. Encontrará personas que afirman que una vez que un cuerpo está dentro del horizonte de eventos, terminará en la singularidad central. Pero tenga en cuenta que en el horizonte de sucesos, la velocidad coordinada de la luz es cero y no puede ser inferior a eso . Esto significa que no hay fuerza de gravedad dentro del horizonte de eventos. Para que su estructura no se derrumbe.

Si es así, ¿se pueden derivar límites relativistas sobre la rigidez de un material usando esto?

No. El escenario es demasiado poco realista para eso. Pero lo que puedes derivar son algunos límites en la abstracción. Por ejemplo, si alguien te habla de las coordenadas Kruskal-Szekeres , tómalo con pinzas, porque contienen un error de colegial. Reemplazan la coordenada t con una nueva coordenada de tiempo que ignora por completo la dilatación del tiempo gravitacional infinito en el horizonte de eventos. En este lugar se detiene su reloj óptico. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres sientan efectivamente a un observador detenido frente a un reloj detenido y afirman que lo ve funcionar normalmente. No lo hace, porque el reloj está parado, y él también. Puede detectar un problema similar en la página de MTW a continuación. El gráfico de Schwarzschild de la izquierda presenta un eje de tiempo recortado y un cuerpo que cae hacia adentro que a) va al final del tiempo y regresa y b) esen dos lugares a la vez . El gráfico de Kruskal-Szekeres a la derecha hace que esto sea "bien portado", pero me temo que es un cuento de hadas matemático.