Corrimiento al rojo gravitacional alrededor de un agujero negro de Schwarzschild

Aquí hay algunas ideas con respecto a su pregunta:

Consideremos el camino tomado por la antorcha en presencia de un agujero negro y supongamos que el observador está fuera del horizonte. En aras de la simplicidad, supongamos que la fuente de luz (la antorcha) cae de forma rectilínea.

Un poco de álgebra y algo de física , combinando el principio de equivalencia y algunos aspectos de la relatividad especial, pueden mostrar que la geometría de la trayectoria de la antorcha está dada por la ecuación (teniendo en cuenta solo el movimiento rectilíneo):

$ds^2=\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}$.

Donde r es la distancia de la antorcha desde el centro del BH y M es la masa del BH. Los coeficientes de$dt^2$y$dr^2$son los "componentes tensoriales" métricos de la geometría del espacio-tiempo para esta pregunta en particular. Sin embargo, para la luz de la antorcha, el camino es una curva geodésica: la línea del camino más corto tomado por la luz en un espacio-tiempo enormemente curvo, y la ecuación anterior se convierte en$ds^2=0$por eso:

$\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}=0$.

La última ecuación da la velocidad de la fuente de luz, la antorcha, a medida que cae hacia el BH desde fuera del horizonte, y observada por el observador a una distancia muy grande del BH.

$v(r)=c(1-2GM/c^2r)$.

El cambio de frecuencia$z=\frac{f-f_0}{f_0}$se relaciona con la velocidad de la fuente de luz a través de la ecuación

$v(r)=c\frac{z^2+2z}{z^2+2z+2}.$

La última ecuación da la forma en que el cambio de frecuencia varía en función de$r$, y cómo se ve afectado por la masa, M, del BH. Aquí,$f$es la frecuencia recibida por el observador, mientras que$f_0$es la frecuencia real emitida por la fuente de luz (la antorcha).

Hubiera sido útil si el OP pudiera haber dado una referencia de dónde se encuentra este material en Carroll. Revisé la versión arxiv gratuita (también hay una versión html gratuita ) y no pude encontrarla. La pregunta también es un poco amplia y vaga en cuanto a cuáles son los antecedentes del OP. Básicamente, la pregunta consta de dos partes: (1) justificación e interpretación de la forma dada en Carroll para el factor de corrimiento al rojo, y (2) aplicación de esto al problema de la bombilla que se cae.

Re #2, creo que lo siguiente funciona como una derivación heurística de la forma de la relación dada por Carroll, y puede ayudar a explicar su contenido físico y lo que significan las matemáticas. El cuatro vector de energía-momento de una partícula$p$es proporcional a su velocidad de cuatro vectores$v$. Esto se debe básicamente a que ¿a qué otra dirección podría apuntar? (También tiene sentido en términos de corresponder correctamente a la relación newtoniana$p=mv$.) Ahora, un rayo de luz en realidad no tiene un cuatro vector de velocidad normalizable, pero está bien, porque solo estamos trabajando con proporcionalidades. No necesitamos normalización. También sabemos que la frecuencia de cuatro vectores$\omega$es proporcional a$p$. Hay razones puramente clásicas para esto, pero para la gente en la era moderna esto es más fácil de justificar simplemente porque la constante de proporcionalidad es la constante de Planck en el caso de un solo fotón.

Expresado en notación de índice, tenemos$\omega^a \propto v^a$. Esto es en términos de la forma contravariante de la frecuencia, pero ordinariamente trabajamos con su forma de covector, que se define de tal manera que para un observador con velocidad$U$, la tasa$\omega$(escalar) al que llegan los frentes de onda es$\omega=U^a\omega_a$. Por lo tanto, tenemos$\omega \propto U_a v^a$, que es esencialmente lo que Carroll parece estar diciendo (aunque falta el contexto).

El$-$firmar en Carroll es solo una constante de proporcionalidad, por lo que podemos ignorarlo. Es de suponer que lo tiene allí porque está trabajando en el$-+++$métrica y quiere que esto salga positivo. El$g_{\mu\nu}$está allí porque está bajando un índice. El hecho de que el observador sea estacionario en realidad no afecta el argumento de la proporcionalidad de ninguna manera, pero presumiblemente para el caso que se considera (quizás un desplazamiento Doppler referido a un observador estacionario en el infinito), esa suposición es necesaria para hacer la proporcionalidad. constante sea la que da. La elección del parámetro afín.$\lambda$es arbitrario, y de nuevo es un poco difícil saber cómo pretende Carroll que se haya resuelto esa ambigüedad cuando establece la constante de proporcionalidad, ya que cualquier redefinición del parámetro afín$\lambda\rightarrow a\lambda+b$cambiará el resultado por un factor de$a$. (Y debido a que esta es una geodésica nula, no hay una elección natural para el parámetro afín, como un tiempo adecuado).

Re n.º 1, creo que necesitaríamos ver el enunciado real del problema, porque parece que se han omitido algunas cosas. Específicamente, no me queda claro si la linterna se dejó caer desde el reposo en el infinito o desde el reposo en$r_\text{obs}$. En cualquier caso, es probable que necesite encontrar su velocidad de cuatro vectores cuando alcanza$r_e$, pero eso sería un cálculo aparte. Además, no se indica si el observador está en reposo o en movimiento en relación con el agujero negro. Si está en reposo, entonces el observador debe estar fuera del horizonte, y el destello no se puede observar si se emitió desde el interior del horizonte.

Déjame tomar una grieta en tu subpregunta. Anteriormente en el texto, Carroll afirma que un observador con velocidad$U^{\mu}$mide la energía de una partícula a lo largo de una geodésica para ser$E = -p_{\mu}U^{\mu}$. Podemos derivar esta relación cambiando a coordenadas localmente planas con métrica$\eta_{\mu\nu}$y suponiendo un observador estacionario$U^{\mu} = (1,0,0,0)$. Aquí,$-p_{\mu}U^{\mu} = -\eta_{\mu \nu} p^{\mu}U^{\nu} = -\eta_{0 0} p^{0}U^{0}$. Usando$E = p^{0}$y$\eta_{00} = -1$nos da el resultado deseado. Como se trata de una ecuación tensorial, debe ser válida en todos los sistemas de coordenadas. ahora usamos$p^{\nu} = \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$,$E = \hbar\omega = -g_{\mu\nu}U^{\mu} \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$y enchufar$\hbar = 1$para obtener el resultado deseado.