¿Por qué el espacio-tiempo cerca de un agujero negro cuántico es aproximadamente AdS?

La respuesta que citó no era válida en la mayoría de los aspectos, incluido este. El carácter cuántico de un agujero negro no tiene nada que ver con la geometría de AdS; la geometría AdS es la geometría cercana al horizonte de un agujero negro clásico (o brana negra). ¿Qué agujero negro? Tiene que ser un agujero negro extremo, es decir, debe tener el valor máximo de carga o momento angular permitido para la masa dada (o densidad de masa, en el caso de las branas negras).

para un negro$p$-brana que se prolonga en el tiempo así como$p$dimensiones espaciales adicionales, se obtiene$AdS_{p+2}$. Por ejemplo, uno puede obtener un$AdS_2\times S^{d-2}$de la geometría cercana al horizonte de los agujeros negros extremos en$d=4$. Ver las derivaciones y comentarios, por ejemplo, alrededor de las páginas 57 y 104 en

http://arxiv.org/abs/hep-th/9905111

o busque "[geometría] cercana al horizonte" en este documento u otra introducción a AdS/CFT. Los agujeros negros que no son extremos tienen un volumen finito de la región cercana al horizonte y los fenómenos cuánticos no cambian nada de este hecho. La extremalidad es necesaria para el volumen infinito, y los espacios AdS tienen un volumen infinito. La derivación del límite cercano al horizonte de la métrica de un agujero negro es un procedimiento geométrico puramente clásico: uno ignora algunos términos sublíderes en el tensor métrico y solo mantiene los principales (que dominan por una pequeña diferencia).$\Delta R$desde el horizonte, en relación con el radio del agujero negro), como cabría esperar.

La aproximación está dentro de la gravedad puramente clásica, y el parámetro en el que se aproxima es la distancia al horizonte. Es la expansión de un espacio-tiempo cerca del horizonte de un agujero negro extremo al orden de avance en la relación de la distancia desde el horizonte al parámetro radial del agujero negro. La razón para decir "cuántico" en la respuesta es que la descripción del horizonte cercano es más útil para los casos en los que el comportamiento del horizonte cercano es el mismo que el comportamiento de las cuerdas unidas, que se describen mediante una teoría de medida pura que vive en las branas que conforman los grados cuánticos de libertad del agujero negro modelo. Este caso se llama AdS/CFT.

Cuando un agujero negro no es extremo, como un agujero negro normal de Schwarzschild, el horizonte es localmente plano. Entonces, si se acerca a una parte del horizonte, encontrará un espacio de Minkowski ordinario, excepto que la coordenada de tiempo externa se convierte en una coordenada de ángulo de Minkowski, al igual que el espacio de Rindler.

Para ver esto formalmente, considere una métrica de Schwarzschild en una coordenada radial parametrizada por u de modo que la coordenada radial habitual r esté dada por$r=2M+u^2$

$$-{u^2\over 2M + u^2 } dt^2 + {2M+u^2\over u^2} dr^2 + (2M+u^2)^2 d\Omega^2$$

Reemplazar$dr$por$2u du$y considere u pequeño, de modo que la métrica se convierta en orden principal

$$-{u^2\over 2M} dt^2 + 8M du^2 + (2M)^2 d\Omega^2$$

El resultado es la métrica espacial de Rindler en las coordenadas t,u, copiada sobre una esfera 2d. Dado que las coordenadas r,t son perpendiculares a la esfera, expandiendo la esfera en coordenadas localmente planas, recupera el espacio de Minkowski 4d en forma de Rindler, en cada parche local de la esfera. El$d\Omega^2$parte se convierte$dy^2 + dz^2$cerca de un punto dado en la esfera (son todos iguales), y luego el cambio de coordenadas habitual del espacio de Rindler a las coordenadas de Minkowski (con un cambio de escala adicional para deshacerse del factor 2M) funciona para mostrar que el espacio-tiempo es localmente Minkowski, es decir, que el horizonte no es un lugar singular especial.

El límite extremo más fácil es el agujero negro de Reissner Nordstrom:

$$ds^2 = - f(r) dt^2 + {1\over f(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Con$f(r) = 1-{2M\over r} + {Q^2\over r^2}$. En este caso, la extremalidad es Q=M, por lo que$f(r) = (1-{Q\over r})^2$. Ahora el horizonte está en r=Q, y la integral de la distancia ds desde r=Q da infinito. Este es el negocio del "volumen infinito" que menciona Lubos --- es solo la distancia infinita hasta el horizonte, multiplicada por el área de la esfera. No implica que los objetos no puedan cruzarse, porque el horizonte se aleja de manera no causal para encontrarse con objetos de masa finita en un tiempo finito. Solo las partículas de prueba infinitesimales tardan una eternidad en caer, los objetos finitos caen en un tiempo finito (y creo que también vuelven a caer en un tiempo finito, pero esa es otra historia).

Expandiendo r=Q+u,$f(r) = u^2/Q^2$al orden principal, y obtienes

$$ds^2 = - {u^2\over Q^2} dt^2 + {Q^2\over u^2} du^2 + Q^2 d\Omega^2$$

La primera parte es ahora un espacio-tiempo 2d localmente curvado , y la segunda parte es la métrica de una esfera de radio Q. La curvatura de la primera parte debe ser constante a lo largo de la esfera por simetría, y debe ser constante en u, ya que se están acercando a un límite u pequeño, donde la curvatura de la esfera radial se vuelve constante, de modo que la curvatura de la parte u debe ser el negativo de esta propiedad de la ecuación de Einstein de desaparecer la curvatura de Ricci. Entonces debe ser un espacio AdS.

Pero es bueno verificar esto explícitamente. Usando la coordenada logarítmica$x = Q log u$, y cambiando la escala de t por Q, la métrica radial se convierte en

$$ds^2 = - e^{-{2\over Q} x} dt^2 + dx^2$$

Esto ahora es obviamente homogéneo porque un cambio en t no hace nada, mientras que un cambio en x es compensado por una reescala de t. La curvatura se puede calcular rápidamente utilizando el método rápido y sucio que se describe aquí: escalar de Ricci para un tensor métrico diagonal

$$g_{\mu\nu} = - e^{- 2\alpha x} l_{00} + l_{11}$$

Dónde$\alpha = 1/Q$, diferenciando

$$\Gamma_{\xi,\mu\nu} = -\alpha e^{-2\alpha x} (l_{001}+l_{010}+l_{100})$$

$$\Gamma^\xi_{\mu\nu} = -\alpha (l^0_{10} + l^0_{10} ) + \alpha e^{-2\alpha x} l^1_{00}$$

Lo que da la parte diferenciada de la curvatura

$$\Gamma_, = 2\alpha^2 e^{-2\alpha\nu} l_{00}$$

y la parte del producto

$$\Gamma\Gamma = -\alpha^2 e^{-2\alpha x } l_{00} - \alpha^2 l_{11}$$

Para que juntos le den el Ricci

$$R_{\mu\nu} = -\alpha^2 g_{\mu\nu}$$

Este es un espacio de curvatura negativa constante, un espacio AdS.

Aunque utilicé el ejemplo más trivial de la solución 4d Reissner Nordstom, el argumento es completamente genérico, se aplica a todos los agujeros negros extremos, donde tiene una curvatura que no desaparece en el límite cercano al horizonte. Todos estos objetos tienen una distancia infinita al horizonte, y todos se reducen a una esfera homogénea o esfera-cociente por un espacio AdS en las coordenadas transversales. El comportamiento genérico cercano al horizonte de las soluciones de agujeros negros es una piedra angular de AdS/CFT --- los grados de libertad cercanos al horizonte son lo que está adherido al agujero negro, que se describe en la teoría de cuerdas de acoplamiento débil por esas cuerdas que están adheridos a la brana. El límite de baja energía de cuerdas adheridas a branas se describe necesariamente en baja energía mediante la teoría de calibre adecuada.