¿Cómo sabemos que ψψ\psi es la función propia de un operador H^H^\hat{H} con valor propio WWW?

No estás obteniendo los datos correctos en absoluto.

¿Cómo sabemos de esto?$\langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx$o esto $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + W_p$que tenemos una función propia y un valor propio.

Respuesta: no lo hacemos.

Todo lo que sé sobre el operador$\bar{H}$hasta ahora es esta ecuación donde$\langle W \rangle$es un valor esperado de energía:

$$\begin{align} \langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx \end{align}$$

No, no lo haces.

Aquí está el lado matemático de lo que es una función propia y un valor propio:

Dada una transformación lineal$T : V \to V$, dónde$V$es un espacio de Hilbert o Banach de dimensión infinita, entonces un escalar$\lambda$es un valor propio si y solo si hay algún vector distinto de cero$v$tal que$T(v) = \lambda v$.

Aquí está el lado de la física (es decir, QM):

Postulamos que el estado de un sistema está descrito por algún vector abstracto (llamado ket)$|\Psi\rangle$que pertenece a algún espacio abstracto de Hilbert$\mathcal{H}$.

A continuación postulamos que este estado evoluciona en el tiempo por algún operador hermitiano$H$, que llamamos hamiltoniano, a través de la ecuación de Schrödinger. Qué es$H$? usted adivina y compara con los resultados experimentales (eso es lo que es la física de todos modos).

A continuación postulamos para cualquier cantidad medible, existe algún operador hermitiano$O$, y además postulamos que el promedio de muchas mediciones de$O$es dado por$\langle O \rangle = \langle \Psi | O | \Psi \rangle$.

Conexión a funciones de onda: elegimos el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R}^3)$para trabajar, así que$\Psi(x) = \langle x | \Psi \rangle$, y$\langle O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*(x) O(x) \Psi(x) dx$.

Bien, ese es el final. La forma de$H$no se sigue del valor esperado de energía.

¡Esperar! Ni siquiera he hablado de valores propios y funciones propias. ¡Esta es una publicación inútil!

Respuesta: bueno, no tienes que hacerlo. Pero es útil encontrar los valores propios y las funciones propias de$H$, porque las funciones propias de$H$forman una base del espacio de Hilbert, y ciertas expresiones se vuelven diagonales/más fáciles de manipular cuando hacemos cualquier cálculo que queramos hacer.

Entonces, para encontrar los valores propios de$H$, simplemente resolvemos la ecuación de valores propios como se indicó anteriormente: Resolver

Entonces, como dice Alfred Centauri, simplemente queremos encontrar las funciones propias de$H$. Una pregunta más sutil sería, ¿cómo sabemos que existen? La respuesta está en la teoría espectral y la teoría de Sturm-Liouville, pero no importa por ahora, como físicos asumimos que siempre existen.

Entonces tu pregunta adicional:

$\hat{a} \psi$es una función propia del operador$\hat{H}$con valor propio$(W-\hbar \omega)$.

Bueno... eso sigue de inmediato. Dijiste que ya lo demostraste$H a^\dagger \psi = (W - \hbar \omega) a^\dagger \psi$. Así que aquí$T$=$H$,$a^\dagger \psi = v$, y$\lambda = (W - \hbar \omega)$. que es una ecuación de valor propio$T(v) = \lambda v$. De este modo,$a^\dagger \psi$es una función propia de$H$con valor propio$(W-\hbar \omega)$.

Primero necesito una explicación sobre cómo sabemos esto.

Está estipulado .

Tal vez ayude a su comprensión si lo expresamos de esta manera:

Dejar $\psi$ser una función propia de un operador$\hat{H}$con valor propio$W$.

(Actualización para abordar el comentario de los OP).

Teorema espectral :

teorema _ Existe una base ortonormal de V que consta de vectores propios de A. Cada valor propio es real.

En lo anterior, A es un operador hermitiano. En QM, el operador hamiltoniano$\hat{H}$, es un operador hermitiano correspondiente a la energía total clásica observable.

El teorema espectral esencialmente garantiza que no solo existen funciones propias (vectores propios, estados propios) con valores propios reales asociados con operadores hermitianos, sino que el conjunto de estos estados propios es completo, es decir, cualquier estado posible del sistema puede expresarse como una suma ponderada de los estados propios del operador.

Entonces, sabemos que hay estados propios y valores propios asociados con$\hat{H}$.$\psi$es solo una etiqueta para uno en particular y$W$es solo una etiqueta para el valor propio asociado.