¿Cómo abordar un problema de 2 cuerpos en Relatividad General?

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¿Cómo abordar un problema de 2 cuerpos en Relatividad General?

difusiondiver11

Soy consciente de que no existe una solución de forma cerrada para el problema de 2 cuerpos. Lo que estoy buscando es una solución numérica. Estaba pensando en cómo empezar a abordar este mismo problema. Soy consciente de la formulación lagrangiana de la relatividad general en la que elaboramos una lagrangiana de diferentes interacciones para formar la integral de acción. Pura acción gravitacional que sería algo así como

A = - metro \int d s

$A=-m\int ds$

ahora desde $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ , si dejamos el tensor métrico $g_{\mu \nu}$ para ser uno no plano (digamos) schwarzchild o kerr, entonces minimizar la acción nos llevaría a la ecuación geodésica para una partícula en ese espacio-tiempo.

Esta formulación significa literalmente que para incorporar los efectos de la gravedad en cualquier situación, en lugar de una métrica plana, use una métrica no plana. Lo que significa que para un problema de 2 cuerpos, lo que necesito es una métrica que se calcule específicamente para tal situación. Entonces, ¿cómo comenzar a resolver tal problema?

Se han creado simulaciones por computadora de cuerpos relativistas en interacción mutua entre sí. Deben haber formulado $n$ -interacción del cuerpo de alguna manera numérica. Entonces, ¿cómo lo hacen para un caso general?

Editar: busqué que hay una métrica para 2 cuerpos llamada "métrica de Curzon-Chazy", pero no es para un caso general.

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¿Cómo abordar un problema de 2 cuerpos en Relatividad General?

Futurólogo · Answer 1

Muy buena pregunta. La verdad es que el problema de dos cuerpos en toda regla es bastante complicado. El caso es que tienes que estar resolviendo simultáneamente un sistema de ecuaciones diferenciales que incorpore (i) las ecuaciones archivadas de Einstein para la métrica espacio-temporal generada por las líneas de mundo de ambos cuerpos, junto con (ii) las ecuaciones geodésicas de cada cuerpo en dicha métrica. Si $x_1(\tau)$ y $x_2(\tau)$ son las líneas wold geodésicas buscadas de los cuerpos 1 y 2 con respecto al tiempo propio $\tau$ , las ecuaciones deberían ser algo como esto

d τ = \sqrt{{gramo}_{m v} (X) d X^{m} d X^{v}} (la definición de tiempo apropiado)

$d\tau = \sqrt{g_{\mu \nu}(x)\, dx^{\mu}\, dx^{\nu}} \,\,\,\, \text{(the definition of proper time)}$

T^{m v} [X_{1}, X_{2}] (X) = {metro}_{1} \frac{d X_{1}^{m}}{d τ} \frac{d X_{1}^{v}}{d τ} d (X - X_{1} (τ)) + {metro}_{2} \frac{d X_{2}^{m}}{d τ} \frac{d X_{2}^{v}}{d τ} d (X - X_{2} (τ)) (el tensor de impulso de energía generado por las partículas 1 y 2)

$T^{\mu \nu}[x_1, x_2](x) = m_1\, \frac{dx_1^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_1^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_1(\tau)\big) + m_2\, \frac{dx_2^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_2^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_2(\tau)\big) \,\,\,\, \text{(the energy momentum tensor generated by particle 1 and 2)}$

R_{m v} [gramo] (X) - \frac{1}{2} R [gramo] (X) {gramo}_{m v} (X) = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v} [X_{1}, X_{2}] (X) (Ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitacional generado por los dos cuerpos)

$R_{\mu \nu}[\,g\,](x) - \frac{1}{2}\,\, R[\,g\,](x) \,\, g_{\mu\nu}(x) = \frac{8\pi G}{c^4} \, T_{\mu \nu}[x_1,x_2](x) \,\,\,\, \text{(Einstein field equations for the gravitational field generated by the two bodies)}$

\frac{d^{2} X_{1}^{λ}}{d τ^{2}} + Γ_{m v}^{λ} [gramo] (X_{1}) \frac{d X_{1}^{m}}{d τ} \frac{d X_{1}^{v}}{d τ} = 0

$\frac{d^2x_1^{\lambda}}{d\tau^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}[\,g\,](x_1)\,\frac{dx_1^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_1^{\nu}}{d\tau} =0$

\frac{d^{2} X_{2}^{λ}}{d τ^{2}} + Γ_{m v}^{λ} [gramo] (X_{2}) \frac{d X_{2}^{m}}{d τ} \frac{d X_{2}^{v}}{d τ} = 0

$\frac{d^2x_2^{\lambda}}{d\tau^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}[\,g\,](x_2)\,\frac{dx_2^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_2^{\nu}}{d\tau} =0$

(ecuaciones de movimiento para cada uno de los dos cuerpos)

$\,\,\,\, \text{(equations of motion for each of the two bodies)}$ Los corchetes significan que la cantidad dada se obtiene de las cantidades entre corchetes. La función

δ

$\delta$ es la función delta de Dirac. Podría ser más apropiado parametrizar las líneas universales en términos de la coordenada de tiempo de las coordenadas

x

$x$ , es decir escribir

τ

$\tau$ en términos de la coordenada de tiempo

x^{0}

$x^0$ . Creo que puedes ver cuán intrincadamente acopladas están todas estas ecuaciones.

Debo mencionar aquí que el sistema anterior está escrito en su forma completa con respecto a coordenadas arbitrarias (observador). Sin embargo, puede simplificar las ecuaciones drásticamente, si elige las coordenadas adjuntas a uno de los puntos de masa, digamos el punto 2. En otras palabras, está resolviendo el problema desde el punto de vista de un observador que viaja con el cuerpo 2. En tal coordenadas, la trayectoria $x_2(\tau)$ es una línea recta similar al tiempo y el tensor métrico a lo largo $x_2(\tau)$ es la métrica plana de Minkowski. Pero lejos de la trayectoria en línea recta de $x_2$ , la métrica no es minkowskiana. Estas coordenadas se llaman coordenadas de Fermi (caída libre). Luego, tienes que resolver las ecuaciones.

R_{m v} [gramo] (X) - \frac{1}{2} R [gramo] (X) {gramo}_{m v} (X) = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v} [X_{1}] (X)

$R_{\mu \nu}[\,g\,](x) - \frac{1}{2}\,\, R[\,g\,](x) \,\, g_{\mu\nu}(x) = \frac{8\pi G}{c^4} \, T_{\mu \nu}[x_1](x) \,\,\,\,$

\frac{d^{2} X_{1}^{λ}}{d τ^{2}} + Γ_{m v}^{λ} [gramo] (X_{1}) \frac{d X_{1}^{m}}{d τ} \frac{d X_{1}^{v}}{d τ} = 0

$\frac{d^2x_1^{\lambda}}{d\tau^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}[\,g\,](x_1)\,\frac{dx_1^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_1^{\nu}}{d\tau} =0$ donde el tensor de momento de energía

T^{m v} [X_{1}] (X) = {metro}_{1} \frac{d X_{1}^{m}}{d τ} \frac{d X_{1}^{v}}{d τ} d (X - X_{1} (τ)) + {metro}_{2} \frac{d X_{2}^{m}}{d τ} \frac{d X_{2}^{v}}{d τ} d (X - X_{2} (τ))

$T^{\mu \nu}[x_1](x) = m_1\, \frac{dx_1^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_1^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_1(\tau)\big) + m_2\, \frac{dx_2^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_2^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_2(\tau)\big) \,\,\,\,$ tiene un segundo termino

{metro}_{2} \frac{d X_{2}^{m}}{d τ} \frac{d X_{2}^{v}}{d τ} d (X - X_{2} (τ)) = 0 cuando m \neq 0 o v \neq 0

$m_2\, \frac{dx_2^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_2^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_2(\tau)\big) = 0 \,\,\,\, \text{ when $\mu \neq 0$ or $\nu \neq 0$ }$ y

{metro}_{2} \frac{d X_{2}^{m}}{d τ} \frac{d X_{2}^{v}}{d τ} d (X - X_{2} (τ)) = {metro}_{2} d (X - (X^{0}, 0, 0, 0)) cuando m = v = 0

$m_2\, \frac{dx_2^{\mu}}{d\tau} \, \frac{dx_2^{\nu}}{d\tau}\, \delta\big(x - x_2(\tau)\big) = m_2 \, \delta\big(x - (x^0,0,0,0)\big) \,\,\,\, \text{ when $\mu = \nu = 0$ }$

Lo siento por el comentario tardío. No entendí completamente tus ecuaciones, pero supongo que tengo una buena idea sobre el problema. Entonces tomaré mi respuesta como: ** De la ecuación de campo de Einstein, lo que generalmente hacemos es ingresar la métrica y encontrar el flujo y la distribución de energía y masa, pero si hacemos el proceso inverso de encontrar la métrica dada la masa- distribución de energía a través de las ecuaciones, dado que la energía y la masa pueden distribuirse arbitrariamente, básicamente resolvemos el problema de n-cuerpos ** Tengo la idea de cómo abordar el problema de n-cuerpos en la relatividad general. ¡¡Gracias!!

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Futurólogo

difusiondiver11

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