¿Cómo demostrar que la acción de Einstein-Hilbert es invariante del difeomorfismo?

A menudo se afirma en textos sobre relatividad general que la teoría es invariante de difeomorfismos ( NB , estoy considerando difeomorfismos activos ), es decir, si el universo está representado por una variedad$\mathcal{M}$con métrica$g_{\mu\nu}$y campos de materia$\psi$y$\phi:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{M}$es un difeomorfismo, entonces los conjuntos$(\mathcal{M},\,g_{\mu\nu},\,\psi)$y$(\mathcal{M},\,\phi^{\ast}g_{\mu\nu},\,\phi^{\ast}\psi)$representan la misma situación física.

Dado esto, ¿cómo se muestra explícitamente que la acción de Einstein-Hilbert$S_{EH}[g]=M^{2}_{Pl}\int\,d^{4}x\sqrt{−g}R$¿El difeomorfismo es invariante ?

Sé que bajo un difeomorfismo infinitesimal$x^{\mu}\rightarrow y^{\mu}=x^{\mu}+tX^{\mu}$, generado por algún campo vectorial$X=X^{\mu}\partial_{\mu}$, la métrica se transforma tal que$\delta_{X}g_{\mu\nu}=\mathcal{L}_{X}g_{\mu\nu}=2\nabla_{(\mu}X_{\nu)}$y entonces$\delta_{X}\sqrt{-g}=\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\nabla_{(\mu}X_{\nu)}$. Además, el escalar de Ricci se transforma tal que$\delta_{X}R=\mathcal{L}_{X}R=X^{\mu}\nabla_{\mu}R$.

Todo esto está muy bien, pero no estoy seguro de cómo el elemento de volumen$d^{4}x$transforma bajo difeomorfismos?! Me inclino a pensar que no se transforma, ya que si he entendido las cosas correctamente, bajo un difeomorfismo, los puntos de la variedad se asignan a nuevos puntos, pero simultáneamente, los mapas de coordenadas se "retroceden" , tal que las coordenadas del punto en su nueva posición en el nuevo gráfico de coordenadas son las mismas que las coordenadas del punto en su antigua posición en el antiguo gráfico de coordenadas.

Si esto es correcto, entonces creo que puedo demostrar que$S_{EH}$es difeomorfismo invariante como sigue:

$$\delta_{X}S_{EH}=\int\,d^{4}x\left[\delta_{X}(\sqrt{-g})R+\sqrt{-g}\,\delta_{X}(R)\right]=\int\,d^{4}x\sqrt{-g}\left[\nabla_{\mu}X^{\mu}R+X^{\mu}\nabla_{\mu}R\right]\\=\int\,d^{4}x\sqrt{-g}\nabla_{\mu}\left(X^{\mu}R\right)=\int\,d^{3}\Sigma_{\mu}\,X^{\mu}R\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\,$$ donde he utilizado el teorema de Stokes en la penúltima igualdad, en la que $d^{3}\Sigma_{\mu}$es el elemento de superficie covariante (hiper) del límite orientado al volumen 4. Ahora, suponiendo que $X$tiene un soporte compacto , tal que $X^{\mu}\rightarrow 0$en la hipersuperficie $\Sigma$, entonces encontramos que $\delta_{X}S_{EH}=0$, es decir, la acción de Einstein-Hilbert es invariante de difeomorfismo.

No estoy seguro de si esto es correcto, en particular mi argumento sobre dónde o no el elemento de volumen$d^{4}x$se transforma o no? Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Editar

He estado leyendo este conjunto de notas y el autor afirma que$d^{4}x$no se transforma bajo difeomorfismos activos (cf. páginas 9 y 19 en particular), pero no sigo bien el razonamiento.