Un 'tiempo' inequívoco

La coordenada de Schwarzschild$t$, como bien dices, no define una dirección temporal en todas partes del espacio-tiempo de Schwarzschild. Sin embargo, esto no significa que no haya alguna coordenada definida globalmente y temporal en todas partes. Hay muchos sistemas de coordenadas diferentes que se pueden usar para el espacio-tiempo de Schwarzschild, como las coordenadas de Eddington-Finkelstein o las coordenadas de Kruskal-Szekeres . la coordenada$T$en coordenadas Kruskal-Szekeres define una dirección temporal en todas partes. Decimos que el campo vectorial tangente a las curvas de variable$T$es una orientación temporal , y que el espaciotiempo de Schwarzschild es orientable en el tiempo.

Estas cosas pueden ser difíciles de visualizar. Para obtener una imagen de la estructura global del espacio-tiempo, suele ser útil utilizar un diagrama de Penrose . El diagrama de Penrose para el espacio-tiempo de Schwarzschild es este$^1$:

Este diagrama es un poco confuso al principio y llevaría mucho tiempo explicar todos los detalles. Sin embargo, la imagen básica que debe tener en mente es que el 'tiempo' corre verticalmente en este diagrama, mientras que el 'espacio' corre horizontalmente. La región cuadrada de la derecha (I) corresponde al exterior del agujero negro, mientras que la región triangular en la parte superior (II) corresponde al interior del agujero negro. La línea diagonal que los divide es el horizonte de sucesos. Mientras que la coordenada de Schwarzschild$t$puntos (en términos generales) verticalmente en la región I y horizontalmente en la región II, ciertamente puedo poner coordenadas en este diagrama de modo que uno de ellos sea similar al tiempo en todas partes. Un sistema de coordenadas rectangular simple haría el trabajo aquí.

Recuerde, un espacio-tiempo es una entidad geométrica que existe sin referencia a ningún sistema de coordenadas en particular. En lugar de atascarse en las peculiaridades de un sistema de coordenadas u otro, es mejor preguntarse acerca de la estructura global del espacio-tiempo y si existe una noción sensata de 'dirección del tiempo' que se le pueda asignar sin ambigüedades.

$^1$Imagen tomada de las notas de la conferencia sobre Black Holes de Harvey Reall, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hsr1000/teaching.html .

Prediciendo el futuro

Dicho esto, el problema del valor inicial en la relatividad general equivale a mucho más que simplemente encontrar una dirección de tiempo inequívoca. Para poder simular numéricamente la evolución del tiempo, necesitamos que nuestro espacio-tiempo no solo sea orientable en el tiempo, sino también globalmente hiperbólico . En esencia, esto significa que podemos dividir nuestro espacio-tiempo en una serie de hipersuperficies espaciales.$\Sigma_t$etiquetado por alguna coordenada$t$(este no es el Schwarzschild$t$) tal que cada hipersuperficie se encuentra en el futuro de la siguiente. Además, cada una de estas hipersuperficies debe ser una superficie de Cauchy , lo que significa que los datos iniciales sobre cualquiera de las$\Sigma_t$es suficiente para determinar el comportamiento de la métrica para todos los tiempos futuros.

Tenga en cuenta que las regiones I y II del diagrama anterior (el interior y el exterior del agujero negro) juntas no son globalmente hiperbólicas. Esto se debe a que el comportamiento de la métrica en el interior del agujero negro no está determinado por el comportamiento de la métrica fuera de él; esto es simplemente la declaración de que no sabemos qué sucede detrás del horizonte de eventos. Al unir las regiones III y IV (no físicas) al espacio-tiempo se obtiene el espacio-tiempo de Kruskal, que es globalmente hiperbólico.

La destilación de esto es que las condiciones en nuestro espacio-tiempo requeridas para que el problema del valor inicial esté bien planteado no son sencillas.

¿Qué condiciones iniciales?

Incluso si estamos trabajando con un espacio-tiempo hiperbólico globalmente orientable en el tiempo, todavía no es obvio qué tipo de datos necesitamos especificar en nuestra hipersuperficie inicial.$\Sigma_0$para que exista una solución y sea única. La métrica por sí sola debería ser insuficiente para una solución única, ya que las ecuaciones de Einstein son de segundo orden . Especificar una derivada temporal de la métrica en nuestra hipersuperficie inicial corresponde matemáticamente a especificar el tensor de curvatura extrínseco en$\Sigma_0$.

Además, la ecuación de Einstein impone restricciones (conocidas como restricciones hamiltonianas y de momento) sobre la curvatura métrica y extrínseca que podemos especificar, es decir, no es posible especificar una métrica arbitraria y un tensor de curvatura extrínseca arbitrario en$\Sigma_0$. Una vez que hemos especificado los datos iniciales que obedecen a estas restricciones, un teorema debido a Choquet-Bruhat y Geroch garantiza que la evolución temporal de la métrica existe y es única.

Lamento decepcionarte, pero mi respuesta es menos romántica de lo que podrías esperar: no hay una coordenada de tiempo variable que pueda cambiar la situación.

$t$es la coordenada de tiempo de un observador lejano A. Cuando una partícula de masa cae en el agujero negro B, según las coordenadas de tiempo de A, B nunca llegará al agujero negro. Eso significa que toda la simulación considerará que B se acerca al agujero negro sin llegar a alcanzarlo.

La situación no es fundamentalmente diferente para cualquier otro observador en cualquier posición más cercana al horizonte de eventos que la posición del observador lejano (debido a la transformación de coordenadas). Eso significa que ningún reloj fuera del horizonte de eventos mostrará el momento en que B toca el horizonte de eventos.

Por el contrario, el reloj de la partícula B que cae proporcionará una coordenada de tiempo para el momento en que la partícula B toca el horizonte de eventos. Pero las coordenadas de tiempo de B en este momento no corresponden a ninguna coordenada de tiempo de ningún observador externo. Todos los observadores externos están de acuerdo en que B nunca alcanzará el horizonte de sucesos. La región "II" en el diagrama de Penrose anterior está ocurriendo después del final de nuestro tiempo, por esta razón su concepto de tiempo no tiene sentido.