Ecuación de movimiento de un fotón en una métrica dada

Si su solución no es una geodésica nula, entonces es incorrecta para una partícula sin masa.

La razón por la que te desvías es que el Lagrangiano que das en (1) es incorrecto para partículas sin masa. La acción general para una partícula (masiva o sin masa) es:

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \left( \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 + \frac{m^2}{\sigma(\xi)}\right),$$

dónde$\xi$es un parámetro de línea de mundo arbitrario y$\sigma(\xi)$una variable auxiliar que debe ser eliminada por su ecuación de movimiento. Tenga en cuenta también la notación

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2\equiv \pm g_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}X^\mu}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}X^\nu}{\mathrm{d}\xi},$$

módulo su convención de signos métricos (no he comprobado cuál es el adecuado para su convención). Comprueba eso para$m\neq 0$esta acción se reduce a la acción habitual de una partícula masiva. Sin embargo, para el caso sin masa, obtienes

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2.$$

La ecuación de movimiento para$\sigma$da la restricción

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 = 0,$$

para una geodésica nula. Esto es necesario y consistente para partículas sin masa, como saben.

La ecuación de movimiento para$X^\mu$es ( EDITAR : Vaya, olvidé un término aquí. Tenga en cuenta que$g_{\mu\nu}$depende de$X$entonces un término que implica$\partial_\rho g_{\mu\nu}$entra en la variación. Intenta resolverlo por ti mismo. Arreglaré las siguientes ecuaciones más adelante):

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\sigma g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\xi}\right)=0,$$

pero puedes cambiar el parámetro$\xi\to\lambda$de modo que$\sigma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}$, por lo que la ecuación de movimiento se simplifica a

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}\right)=0,$$

que debería poder resolver para obtener algo que satisfaga la restricción nula.

I) Bueno, en dimensiones 1+1, el cono de luz (basado en algún punto) son solo dos curvas que se cruzan, que están determinadas precisamente por la condición

$$\tag{1} g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~=~0,$$

y una condición inicial cf. El segundo método de OP. Sin embargo, esta ec. (1) no determinará geodésicas similares a la luz en dimensiones superiores.

II) El primer método de OP, es decir, variar el Lagrangiano

$$\tag{2} L~:=~ g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$$

en principio también es correcto. Es un buen ejercicio para mostrar que las ecuaciones de Euler-Lagrange son la ecuación geodésica . Sin embargo, parece que OP identifica erróneamente el parámetro$\lambda$de la geodésica con el$x^0$-coordinar. ¡Estas son dos cosas diferentes! En 1+1 dimensiones, tenemos dos coordenadas$x^0$y$x^1$. Hay dos ecuaciones de Euler-Lagrange. La solución completa para$\lambda\mapsto x^0(\lambda)$y$\lambda\mapsto x^1(\lambda)$serán todas las geodésicas: del tiempo, de la luz y del espacio.

Dado que solo nos interesan las geodésicas similares a la luz , también tendríamos que imponer la ec. (1) en el método de Euler-Lagrange.

III) Si se hace una transformación de coordenadas

$$\tag{3} u~=~\exp(-\frac{x^0}{2})\quad\text{and}\quad v~=~\frac{x^1}{2},$$

entonces la métrica de OP se convierte en

$$\tag{4} \frac{4}{u^2}(-du^2+dv^2)$$

que, por ejemplo, también se considera en esta publicación Phys.SE (hasta un factor constante general). Obviamente, las geodésicas similares a la luz son de la forma

$$\tag{5} v-v_0~=~ \pm (u-u_0).$$

Hay una manera elegante de hacer esto usando simetrías.

Tenga en cuenta que esta métrica es invariante de traducción espacial, por lo que tiene un vector de muerte$\partial_x$. Hay una cantidad conservada correspondiente$c_x$a lo largo de las geodésicas$x^\mu(\lambda)$dada por

$$\begin{align} c_x = g_{\mu\nu}\dot x^\mu(\partial_x)^\nu = e^t\dot x \end{align}$$ Donde un sobrepunto denota diferenciación con respecto al parámetro afín. Por otra parte, el hecho de que la geodésica buscada sea una geodésica fotónica (nula) a lo largo de la cual $ds^2 = 0$da $$\begin{align} 0=-\dot t^2 + e^t\dot x^2 \end{align}$$ Esto forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que en realidad no es tan difícil de resolver. Sugerencia: Trate de resolver la primera ecuación para $\dot x$, y luego sustituyéndolo en la segunda ecuación.