Derivación de la ecuación de difusión a partir de la ecuación de Fokker-Planck

TL; DR hacemos la suposición física de que$\mathbf{D}$es diagonal e independiente de la posición.

La página de Wikipedia de la ecuación de Fokker-Planck establece la equivalencia de las dos ecuaciones clave.

La ecuación diferencial estocástica

$$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)\, dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\, d\mathbf{W}_t$$ es esencialmente la ecuación de Langevin (sin inercia) que describe el movimiento browniano de un conjunto de partículas cuyas posiciones están representadas por el vector$\mathbf{X}_t \equiv \{X_{i,t}\}$en el momento$t$. El término de deriva$\boldsymbol{\mu}\equiv\{\mu_i\}$puede estar relacionado con las fuerzas externas y entre partículas, y con las movilidades de las partículas (por lo tanto, con los coeficientes de difusión). El término$d\mathbf{W}_t$representa un proceso de Wiener y el prefactor$\boldsymbol{\sigma}$es una matriz, también relacionada con la difusión (ver más abajo).

La ecuación de Fokker-Planck es

$$\frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t} = - \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \mu_i(\mathbf{x},t)p(\mathbf{x},t) \right] + \sum_i \sum_j \frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} \left[ D_{ij}(\mathbf{x},t)p(\mathbf{x},t) \right]$$ En ausencia de fuerzas externas y fuerzas entre partículas, los términos de deriva$\boldsymbol{\mu}\equiv\{\mu_i\}$son cero, pero no es esencial hacer esta suposición. El tensor de difusión se puede expresar $$D_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k \sigma_{ik} \sigma_{jk}$$

El vínculo entre esas dos ecuaciones se puede encontrar en muchos lugares, pero mi impresión es que solo le preocupa cómo la ecuación de Fokker-Planck se convierte en una ecuación de difusión simple. Esto se debe a que generalmente hacemos las suposiciones físicas de que el sistema es homogéneo y que no hay interacciones hidrodinámicas entre las partículas. Entonces tomamos el tensor de difusión como

1. diagonal, entonces$D_{ij}=0$si$i\neq j$;
2. independiente de la posición, por lo que$\partial D_{ii}/\partial x_i=0$

Una vez hecho esto, el término difusivo se convierte simplemente

$$\sum_i D_{ii}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} p(\mathbf{x},t)$$ y (si no tenemos un término de deriva) la ecuación de Fokker-Planck se factoriza en ecuaciones de difusión separadas para cada una de las partículas, lo que implica la habitual$D_{ii}\nabla_i^2 p_i$término difusivo para cada uno. Junto con esto, obtenemos ecuaciones de Langevin independientes. Si permitimos la falta de homogeneidad dejando que el tensor de difusión dependa de las posiciones, pero aun así asumimos que es diagonal, entonces obtenemos una versión un poco más complicada de la ecuación de difusión. En presencia de términos de deriva, particularmente fuerzas entre partículas, las ecuaciones se acoplan a través de estos términos.

Si no hacemos esas suposiciones, entonces la forma completa de la ecuación de Fokker-Planck es esencialmente la ecuación de difusión del sistema.

No siempre hacemos esas suposiciones. En los tratamientos del movimiento browniano con interacciones hidrodinámicas, los efectos promediados de la hidrodinámica a menudo se representan aproximadamente a través de un tensor de difusión que depende de los vectores de separación de todos los pares de partículas. Algunos ejemplos son el tensor de Oseen o el tensor de Rotne-Prager (que siempre es definido positivo y, por lo tanto, preferible debido a la relación con$\boldsymbol{\sigma}$). En cada caso, por$N$partículas en 3D, por lo que$\mathbf{x}\equiv\{\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N\}$es un vector de longitud$3N$que consiste en$N$vectores de posición, el tensor de difusión toma la forma de un$N\times N$variedad de individuos$3\times3$matrices. Las matrices a lo largo de la diagonal toman la forma diagonal habitual, mientras que las matrices correspondientes al acoplamiento entre partículas son funciones del vector entre ellas. Aquí, como ejemplo, hay un término típico fuera de la diagonal en el tensor de Oseen

$$\mathbf{D}_{ab}^{(3\times3)}= \frac{k_B T}{8\pi\eta r_{ab}} \bigl(\boldsymbol{1} + \hat{\mathbf{r}}_{ab} \hat{\mathbf{r}}_{ab}\bigr) \qquad a\neq b$$ dónde$a$y$b$etiquetar las partículas,$r_{ab}$es la distancia entre ellos,$\hat{\mathbf{r}}_{ab}$el vector unitario que apunta entre ellos,$k_B$es la constante de Boltzmann y$\eta$la viscosidad del fluido circundante. Entonces los términos cruzados en la ecuación de difusión, y en la ecuación de Langevin, muy apropiadamente, no desaparecen.