Segunda clase de Stiefel-Whitney y primera clase de Pontryagin de espacios totales de paquetes lineales S2S2S^2 sobre S4S4S^4

Para$z\in \mathbb{Z}$, dejar$E_z$denote el espacio total del paquete correspondiente a$z$. Entonces,$E_0 = S^2\times S^4$y$E_1 = \mathbb{C}P^3$. mostraremos que$w_2(E_z) = 0$y$p_1(E_z) = -4z$.

Reclamación 1 :$E_z$es el retroceso de$S^2\rightarrow \mathbb{C}P^3\rightarrow S^4$de un grado$z$mapa$S^4\rightarrow S^4$.

Prueba: Considere el paquete universal$SO(3)\rightarrow ESO(3)\rightarrow BSO(3)$. Lineal$S^2$paquetes más$S^4$se clasifican por una clase de homotopía de mapa de$S^4$a$BSO(3)$. En otras palabras, se clasifican por$\pi_4(BSO(3))$(que es canónicamente isomorfo a$\pi_3(SO(3)) \cong \mathbb{Z}$como usted anotó). También como usted señaló,$\mathbb{C}P^3$corresponde a la$z=1$caso. Dejar$\phi:S^4\rightarrow BSO(3)$clasificar$E_1$. En otras palabras,$[\phi]\in\pi_4(BSO(3))\cong \mathbb{Z}$corresponde a$1$.

Ahora si$f:S^4\rightarrow S^4$es un grado$z$mapa, entonces claramente$[\phi\circ f] = z\in \mathbb{Z}$. Entonces$E_z = (\phi \circ f)^\ast ESO(3) = f^\ast \phi^\ast ESO(3) = f^\ast \mathbb{C}P^3$.$\square$

Reclamación 2 :$w_2(E_z) = 0$.

Prueba: Deja$\epsilon$denota un paquete trivial. También, deja$\pi:E_z\rightarrow S^4$denota la proyección. Finalmente, deja$\xi_z$denotemos el haz vectorial obtenido rellenando las fibras de$E_z$. Entonces$TE_z\oplus \epsilon \cong \pi^\ast TS^4 \oplus \pi^\ast \xi_z$, de acuerdo con el Lema 8.2.3 de "Una introducción a la topología de contacto" de Geiges . Ya que ambos$TS^4$y$\xi_z$son paquetes más$S^4$, las clases de Stiefel-Whitney hasta$w_3$todo se desvanece trivialmente. En particular,$w_2(TE_z) = 0$por la fórmula de la suma de Whitney.$\square$

Reclamación 3 :$p_1(E_z) = -4z$.

Prueba: Usando el mismo truco que en la Afirmación 2, (y el hecho de que$p_1(TS^4) = 0$porque es establemente paralelizable), sabemos que$p_1(TE_z) = \pi^\ast p_1(\xi_z)$. Ahora un argumento de secuencia de Gysin muestra que$\pi^\ast:H^4(S^4)\cong \mathbb{Z}\rightarrow H^4(E_z)$es un isomorfismo. Entonces, solo necesitamos calcular$p_1(\xi_z)\in H^4(S^4)$.

Por definición, esto se obtiene tomando el retroceso de$p_1\in H^4(BSO(3))$bajo el mapa de clasificación$f_z\circ \phi$. Desde$p_1(\mathbb{C}P^3) = -4$, sabemos$\phi^\ast(p_1) = -4 \in H^4(S^4)$. Entonces, hemos reducido el cálculo a entender$f_z^\ast :H^4(\mathbb{C}P^3)\rightarrow H^4(E_z)$. Pero en mi respuesta aquí muestro que es la multiplicación por$z$.$\square$