Número de Euler de paquetes de 2 discos

$1.$A$2$-el haz de discos es un haz de fibras con fibra$D^2$, el disco bidimensional. Más generalmente, un$F$-abrázate$B$es un haz de fibras$F \to E \to B$.

$2.$Cada$2$-el paquete de discos surge como el paquete de discos unitario de un paquete vectorial real de rango dos; esto se sigue de un teorema de Smale que$\operatorname{Diff}(D^2)$la deformación se retrae$O(2)$. El paquete real de rango dos es orientable si y solo si el$2$-El paquete de discos es orientable. La clase de Euler de la$2$-disk bundle es la clase de Euler del correspondiente paquete real de rango dos.

Hay un análogo no orientable de la clase de Euler. Si$V \to B$es un rango real no orientable$k$paquete de vectores, entonces$e(V)$es un elemento del grupo de cohomología torcida$H^k(B; \mathbb{Z}_w)$. Una referencia para la construcción de esta clase es el capítulo$39$de La topología de los haces de fibra de Steenrod .

Si$B$es una superficie cerrada, entonces el número de Euler de$V$es dado por$\langle e(V), [B]\rangle$, donde si$B$es no orientable, se debe usar cohomología y homología torcidas.

$3.$Rango real orientable dos paquetes sobre$B$están determinados hasta el isomorfismo por su clase de Euler. De hecho,$\operatorname{Vect}_{\mathbb{R}}^{2,+}(B) \to H^2(B; \mathbb{Z})$,$V \mapsto e(V)$es un isomorfismo de grupos donde$\operatorname{Vect}_{\mathbb{R}}^{2,+}(B)$denota clases de isomorfismo de paquetes reales orientables de rango dos con operación binaria de suma directa. Ver propuesta$3.10$de Hatcher's Vector Bundles y K-Theory, por ejemplo (tenga en cuenta que un paquete vectorial orientable de rango dos real puede verse como un paquete lineal complejo, y la clase de Euler coincide con la primera clase de Chern).

No sé si hay una declaración análoga para paquetes no orientables, pero sospecho que la unicidad es válida para$\mathbb{RP}^2$al menos. (La hay; vea el comentario de Moishe Kohan y esta respuesta ).

$4.$El número de Euler de$V = TB$para una superficie cerrada$B$es$\langle e(TB), [B]\rangle = \chi(B)$. En particular, el número de Euler de$TS^2$es$\chi(S^2) = 2$, entonces$TS^2 \cong T_2$por singularidad. El número de Euler de$T\mathbb{RP}^2$es$\chi(\mathbb{RP}^2) = 1$, entonces$T\mathbb{RP}^2 \cong N_1$por singularidad.