Duda sobre la aceleración neta durante el movimiento circular no uniforme

Piense en un automóvil que circula por una pista circular. En un instante cuando tiene velocidad$v$tiene una aceleración de magnitud$\frac{v^2}{r}$hacia el centro del círculo. El automóvil está ganando velocidad hacia el centro del círculo. Pero supongamos que, en este instante, el conductor está haciendo que el automóvil vaya más rápido. El automóvil también ganará velocidad en una dirección tangencial al círculo. Eso no interfiere con su ganancia de velocidad hacia el centro del círculo.

Mirándolo en términos de fuerzas, el camino está ejerciendo una fuerza de fricción sobre las ruedas motrices del automóvil que tiene un componente hacia adelante, lo que le da al automóvil su aumento de velocidad, y un componente lateral hacia el centro del círculo, lo que permite que el automóvil ir a la velocidad$v$en un circulo de radio$r$.

Veamos un vector de posición en coordenadas polares generales

$$\vec r(t)=r(t)\pmatrix{\cos\theta(t)\\\sin\theta(t)}$$ Ahora define $$\begin{align} \hat r&=\pmatrix{\cos\theta\\\sin\theta}\\ \hat \theta&=\pmatrix{-\sin\theta\\\cos\theta} \end{align}$$ para hacernos la vida más fácil. Dejé la dependencia del tiempo, pero recuerda que todavía está allí. Puedes comprobar eso $$\begin{align}\dot{\hat r}&=\hat\theta \dot\theta\\\dot{\hat \theta}&=-\hat r \dot\theta\end{align}$$ donde un punto indica una derivada temporal. Una aceleración general se convierte entonces en $$\begin{align}\ddot{\vec r}(t)=&\hat r(\ddot r-r\dot\theta^2)+\\&\hat\theta(r\ddot\theta+2\dot r\dot \theta).\end{align}$$ Nuevamente, este es un buen ejercicio para probar. Para el movimiento circular el radio es constante por lo que$\dot r=0$. Lo que queda de la aceleración general es $$\begin{align}\ddot{\vec r}(t)=&\hat r(-r\dot\theta^2)+\\&\hat\theta(r\ddot\theta).\end{align}$$ El$-r\dot\theta^2$término es la aceleración centrípeta habitual que apunta hacia el centro. Es posible que lo reconozca si lo conecta$\dot\theta=\frac v r$.

El$r\ddot\theta$término es nuevo. Apunta a lo largo de la trayectoria de la partícula y junto con el$-r\dot\theta^2$término se asegura de que el radio se mantenga constante. Tenga en cuenta que si$\dot\theta$=constante este término desaparece y tenemos un antiguo movimiento circular uniforme regular.

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EDITAR Proporcionaré una explicación un poco más fácil de leer.

En el movimiento circular, la velocidad de una partícula siempre es de 90 grados con su radio. como en esta foto

Cuando la velocidad dice lo mismo tenemos un movimiento circular uniforme. En ese caso, el punto de aceleración directamente en el centro. Podemos descomponer la aceleración en dos componentes: una que apunta hacia el centro llamada 'aceleración centrípeta' o$a_c$y uno que apunta a lo largo de la velocidad de la partícula llamado 'aceleración tangencial' o$a_t$.

En movimiento circular uniforme tenemos$a_t=0$ya que la aceleración es solo hacia el centro. Además la aceleración centipeta viene dada por$a_c=\frac{v^2}r$.

Si aceleramos en la dirección tangencial la velocidad de la partícula aumenta. En ese caso, la aceleración centrípeta debe aumentar para compensar, porque$a_c=\frac{v^2}r$y$r$es constante Es más fácil ver si lo escribes como$r=\frac{v^2}{a_c}$. Si hacemos que la velocidad sea el doble de grande, entonces$a_c$debe ser 4 veces más grande.

En pocas palabras, es posible acelerar en la dirección tangencial, pero para hacerlo debes aumentar la aceleración centrípeta de manera precisa para mantener el mismo radio. Del mismo modo debemos disminuir$a_c$si deceleramos en la dirección tangencial.

Durante el movimiento circular no uniforme, la dirección de la aceleración neta no está en la dirección de la aceleración centrípeta, entonces, ¿por qué una partícula sigue moviéndose en una trayectoria circular? Explique.

Suponiendo que por "movimiento circular no uniforme" se refiere a un cambio en la velocidad de la partícula que se mueve en un círculo, entonces se debe a que la aceleración centrípeta depende solo de la magnitud de la velocidad tangencial (la velocidad de la partícula), no de la tasa de cambio de velocidad de la partícula, o cambio en la velocidad tangencial (aceleración tangencial). Se ofrece la siguiente explicación:

Para el movimiento circular hay dos tipos de aceleración posible: centrípeta y tangencial.

Aceleración centrípeta,$a_c$, es la aceleración hacia el centro de la trayectoria circular. Siempre está presente y es lo que mantiene a la partícula en movimiento circular. Se debe a una fuerza centrípeta. En el caso de un automóvil, la fuerza centrípeta es la fuerza de fricción estática entre los neumáticos y la carretera y dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. La aceleración centrípeta depende de la magnitud de la velocidad tangencial$v_t$(la velocidad del automóvil o su velocidad angular, ω, en rad/s) y el radio$r$del movimiento circular según,

$$a_{c}=\frac{v^{2}_t}{r}=rω^2$$

La aceleración tangencial$a_t$resulta del cambio en la magnitud de la velocidad tangencial. Un objeto puede moverse en un círculo y no tener ninguna aceleración tangencial simplemente porque la aceleración angular$α$(rad/seg$^2$) es cero porque el objeto se mueve con una velocidad angular constante ω ($\Delta ω =0$). En el caso de un automóvil en movimiento circular, es la aceleración debida al frenado o al aumento de la velocidad del automóvil debido a la fuerza de fricción estática entre las llantas y la carretera en la dirección tangencial.

$$a_{t}=rα=\frac{\Delta ω}{\Delta t}$$

Espero que esto ayude.