La dirección de la velocidad de un cuerpo puede cambiar cuando su aceleración es constante. ¿Cómo es posible si la aceleración es una cantidad vectorial?

El movimiento de proyectil es movimiento bajo aceleración constante. Los proyectiles se mueven en una trayectoria parabólica donde tanto la magnitud como la dirección de la velocidad cambian continuamente pero la magnitud y la dirección de la aceleración no cambian. El libro de texto es correcto.

Esto es posible. Supongamos que un cuerpo se mueve en sentido positivo$x$dirección con velocidad constante$v_x$. Proporcionamos una aceleración constante en el$y$dirección igual a$a$. Después de un tiempo$t$, la velocidad del cuerpo será$v = v_x \hat{x} +at\hat{y}$. La dirección cambió por$\theta = \tan^{-1}\frac{at}{v_x}$. Esto sucede en muchos casos, y un ejemplo con el que debe estar familiarizado es el movimiento de un proyectil, donde una aceleración constante de$g$cambia la dirección del movimiento del cuerpo proyectado.

Necesita aceleración variable (con magnitud constante) para mantener un movimiento circular uniforme, como centrípeto$\vec a$debe permanecer perpendicular a la tangencial$\vec v$en todos los instantes. Pero para un cuerpo que se mueve con una velocidad arbitraria$\vec v = v_0 \hat i + v_1\hat j + v_2\hat k$, cualquier aceleración constante distinta de cero que no está en la dirección de$\vec v$ debe cambiar el componente de$\vec v$a lo largo de$\hat i$,$\hat j$o$\hat k$. Eso es lo que significa acelerar, cambiar la velocidad. Simplemente lo estamos haciendo en una dirección diferente a la de$\vec v$.

Además, si está confundido acerca de esto,$\vec v$depende de la dirección de$\vec a$, pero$\vec a$siempre puede existir en un cuerpo sin ninguna influencia de su velocidad. El movimiento circular uniforme, o más bien cualquier tipo de movimiento en un circuito cerrado, como el movimiento elíptico de los planetas, requiere$\vec a$tener una dependencia de$\vec v$, como lo que es consistente en cualquier movimiento en un bucle, primero debemos viajar en una dirección hasta llegar a un punto de máximos, y luego acelerar el$\vec v$para movernos en la otra dirección, hasta un punto de mínimos, sobre el cual nuevamente necesitamos acelerar en la otra dirección.

Como cada punto de la trayectoria corresponde a una dirección particular de$\vec v$, podemos ver claramente cómo el$\vec a$depende de que manera$\vec v$está señalando

Un objeto puede tener una dirección de velocidad cambiante, y esto todavía se llama aceleración, pero la aceleración en sí misma no necesita cambiar (aceleración constante, lo que significa que su magnitud y dirección permanecen iguales).

Considere un objeto que se mueve como un proyectil en la superficie de la tierra

Tratemos de entenderlo con un ejemplo:

Inicialmente, si un cuerpo tenía una cierta velocidad en la dirección x positiva y la aceleración en la dirección x negativa, a medida que avanza el tiempo, la velocidad del cuerpo seguiría disminuyendo. Eventualmente se convertiría en cero seguido de una velocidad en la dirección x negativa. Entonces, la dirección de su velocidad cambió mientras que su aceleración fue constante todo el tiempo.

Quizás la forma más fácil de ver esto es imaginar un cuerpo con una velocidad inicialmente en la dirección y, V _y . Si el cuerpo está sujeto a una fuerza constante en la dirección x, ganará una componente cada vez mayor de velocidad V _x en esa dirección. Como resultado de que V _y permanece fijo y V _x cambia continuamente, la velocidad V del cuerpo cambiará continuamente de dirección, llegando a apuntar cada vez más en la dirección x.

No puede lograr un movimiento circular con una aceleración constante, ya que la dirección de la aceleración debe cambiar continuamente para permanecer apuntando al centro a medida que el cuerpo se mueve alrededor de la circunferencia.

¿No es este caso similar al movimiento circular uniforme? Si no, por favor explique.

No del todo, no. La situación con movimiento circular uniforme es en realidad un poco más complicada; Este es un caso más simple.

¿Cómo puede ser esto posible si la aceleración también debería cambiar (no constante sino variable) si la dirección de la velocidad de un cuerpo cambia dado que en el movimiento circular uniforme el cuerpo está bajo aceleración variable ya que la dirección del cuerpo está cambiando y por lo tanto no ¿aceleración constante?

Creo que lo que te confunde es que estás pensando en la aceleración como una propiedad intrínseca, un vector unido al cuerpo. Pero la aceleración es proporcionada por fuerzas externas. En el movimiento circular uniforme, la dirección de la aceleración no cambia porque la dirección/velocidad del cuerpo cambie, sino porque la posición del cuerpo cambia en relación con la fuente de la fuerza.

Pero eso es sólo una complicación extra. El cambio de dirección de la velocidad no es causado ^* por el cambio en la aceleración, sino que es la consecuencia del hecho de que la aceleración tiene un componente perpendicular a la velocidad (no está apuntando en la misma dirección).

^* Tenga en cuenta que estoy hablando de qué causa qué; hay, por supuesto, una correlación entre la velocidad y la aceleración en ambas direcciones, pero creo que su confusión es en parte consecuencia de una mala interpretación de la relación causal.

Cualquier aceleración distinta de cero, por su naturaleza, afectará la velocidad de un objeto "simplemente existiendo" (la aceleración no necesita "hacer" nada adicional). Una aceleración codifica un cambio de velocidad; la unidad para ello es$m/s^2$, que es solo otra forma de escribir:

Como tú sabes,$m/s$es la unidad de velocidad, por lo que un vector de aceleración codifica cuánto cambiaría un vector de velocidad después de un segundo y en qué dirección, suponiendo una aceleración constante . Reproduce el$\Delta\vec{v}$vector, que puede agregar vectorialmente al vector de velocidad actual$\vec{v}$para obtener el nuevo vector de velocidad$\vec{v}_1 = \vec{v} + \Delta\vec{v}$. O, por un período de tiempo arbitrario,$\Delta\vec{v} = \Delta t \vec{a}$y$\vec{v}_1 = \vec{v} + \Delta t \vec{a}$.
(A menudo simplemente escribirías eso como$\vec{v}_1 = \vec{v} + t \vec{a}$, tomando$t_0$ser cero.)

Por ejemplo, en esta imagen, después de un tiempo elegido$t$, la velocidad cambia desde un valor inicial de$\vec{v}_i$a la final$\vec{v}_f$(a la derecha, en la trayectoria). Haciendo la resta$\vec{v}_f - \vec{v}_i$te da el cambio de velocidad$\Delta\vec{v}$. Suponiendo de nuevo aceleración constante ^** , dividiendo$\Delta\vec{v}/t$(dónde$t$es el lapso de tiempo) le da una especie de cambio "estandarizado" en la velocidad, el que ocurre por segundo, que llamamos aceleración. Luego puede escalar (multiplicar) eso por tiempo para obtener el cambio en la velocidad para cualquier$\Delta t$(incluso retrocediendo). Así que por un tiempo$t$, el cambio es$\Delta\vec{v} = t\vec{a}$y,$\vec{v}_f = \vec{v}_i + \Delta \vec{v}$.

^** Esta es solo una imagen que encontré en Internet; la trayectoria para una aceleración constante no se vería así (no se curvaría hacia atrás en el otro extremo como se muestra, sino que sería una parábola). Pero ignoremos eso por ahora.

Como ves, la dirección está cambiando porque al aplicar una aceleración en realidad estás sumando vectorialmente a la velocidad inicial a$\Delta \vec{v}$que no tiene la misma dirección que él, lo que lo hace girar.

Las matemáticas son más complicadas con aceleración variable e implican integración, pero la idea básica y la lógica subyacente son las mismas. Para una aceleración variable, lo que le interesa es el valor instantáneo de la aceleración, al que puede acercarse cada vez más si considera cada vez más pequeños$\Delta t$; para pequeños$\Delta t$, el cambio de velocidad es prácticamente muy simple (el término técnico es lineal), como si la aceleración fuera constante durante ese pequeño período de tiempo, por lo que puede aplicar el mismo truco de "estandarizar" el cambio de velocidad (lo que le da un valor de para la aceleración que es el límite de la aceleración promedio como$\Delta t \to 0$, y de lo contrario hace que las matemáticas funcionen).