Categorías pequeñas y grandes cuando la teoría de categorías se toma como fundamento de las matemáticas.

La mayoría de los fundamentos constan de dos componentes: una lógica (es decir, un sistema formal de razonamiento) y una axiomatización (es decir, una descripción en el lenguaje formal de ese sistema de razonamiento) de un sistema de objetos matemáticos básicos en los que la mayoría, si no todos, de los informales. Las matemáticas se pueden codificar.

El significado más común de la frase una base matemática es una base cuya lógica está dada por la lógica de primer orden. Entonces, en este sentido habitual, las distinciones entre diferentes fundamentos son una distinción con respecto a cómo se ve el sistema de objetos matemáticos básicos.

Cuando la teoría de conjuntos se considera como fundamento de las matemáticas, el sistema de objetos matemáticos es la clase de conjuntos equipados con una relación de pertenencia$\in$satisfaciendo ciertos axiomas (por ejemplo, ZFC).

Cuando la teoría de categorías se considera como fundamento de las matemáticas, el sistema de objetos matemáticos es una categoría , es decir, un par de clases que consisten respectivamente en los objetos de la categoría y los morfismos de la categoría, equipados con ciertas funciones auxiliares entre clases (dominio, codominio, identidad, composición parcialmente definida) que satisfacen ciertos axiomas.

Dos puntos están en orden.

En primer lugar, las clases están presentes en ambas fundaciones. De hecho, las clases son ineludibles cuando se utiliza la lógica de primer orden, donde la clase es simplemente una clase de equivalencia de fórmulas (es decir, declaraciones) bajo equivalencia lógica. En otras palabras, una clase en lógica de primer orden es una colección de objetos especificados por una fórmula en lógica de primer orden (la extensión de la fórmula).

En segundo lugar, la distinción entre clases y conjuntos, por lo tanto, entre categorías grandes y pequeñas en el marco de la teoría de conjuntos, parece vacía: las clases y los conjuntos son diferentes tipos de cosas. Esto se debe a que la distinción correcta a trazar no es entre clases y conjuntos, sino entre clases propias y clases pequeñas. Una clase es pequeña si es la clase de elementos de algún conjunto (formalmente, la clase$\phi(x)$es pequeño si$\exists x:\phi(y)\leftrightarrow y\in x$es demostrable). De lo contrario, la clase es adecuada .

La paradoja de Russel muestra entonces que existen clases adecuadas. Lo que esto indica es una limitación de la lógica de primer orden, porque se supone que la teoría de conjuntos es una axiomatización de cómo nos gusta manipular las colecciones, y resulta que las colecciones descritas por la lógica de primer orden no solo no admiten directamente estos operaciones, pero que incluso si tratáramos de implementar indirectamente las manipulaciones de colecciones que nos gustaría hacer, no seríamos capaces de manipular todas las colecciones de esta manera.

Los dos párrafos anteriores tienen una analogía en los fundamentos categóricos. Primero, observe que la clase de elementos de un conjunto$X$es lo mismo que la clase de funciones de un singleton$\{*\}\to X$. Por lo tanto, podemos redefinir una clase para que sea pequeña si es (en biyección con) la clase de morfismos de un objeto$X$de algún objeto terminal fijo.

En segundo lugar, no es demasiado difícil mostrar mediante un argumento de diagonalización que si una categoría es tal que, para alguna clase que contiene todos los morfismos de la categoría, cada objeto de la categoría admite una potencia de esa clase, entonces entre dos objetos cualesquiera existe a lo sumo un morfismo. En consecuencia, si queremos tener una buena teoría de categorías, necesitamos una distinción entre clases pequeñas para las que una categoría puede ser completa (tener todos los límites indexados por diagramas pequeños, es decir, admitir todas las construcciones pequeñas) sin ser trivial.

Finalmente, lo que hace que una noción de pequeñez sea buena para los propósitos de la teoría de categorías es lo que a veces se llama una clase de aridad , que dice aproximadamente que una familia de colecciones indexadas por una colección pequeña consiste en colecciones pequeñas si y solo si su unión disjunta es una pequeña colección. Un ejemplo importante de clases pequeñas en este sentido son las clases finitas y, en la teoría de conjuntos, las clases de elementos de cardenales regulares.

La teoría de categorías quiere contener la teoría de conjuntos (¡ El conjunto es una categoría importante! Además, los conjuntos son básicamente categorías discretas), por lo que todas las razones habituales lo obligan a prestar atención a los problemas de tamaño. Incluso pueden aparecer sin apelar a los decorados; por ejemplo, no puede haber una categoría de todas las categorías.

Un sabor más teórico de la categoría de los problemas de tamaño es:

• Una categoría pequeña es un objeto de categoría en Set
• Una categoría localmente pequeña es una categoría enriquecida por conjuntos .

así que incluso si no hubiera problemas de tamaño, la pequeñez seguiría siendo un tema importante en la teoría de categorías, incluso si fuera solo un caso especial de teoría de categorías enriquecidas y teoría de categorías internas.