Sobre el axioma de elección para conglomerados y esqueletos

Dilo$\mathcal{X}$es un conglomerado si$\mathcal{X} = \{X_i: i \in I\}$, donde cada$X_i$y$I$son clases. El axioma de elección para los conglomerados es la afirmación: Siempre que$\mathcal{X}$y$\mathcal{Y}$son conglomerados y$f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$es una aplicación sobreyectiva, entonces$f$tiene inversa a la derecha.

El "Axioma de Elección para Clases" y el (habitual) "Axioma de Elección para Conjuntos" pueden definirse de manera análoga y obvia (es decir, "Siempre que$\mathcal{X}$y$\mathcal{Y}$son clases$\ldots$etc." en el primer caso, y "Siempre que$X$y$Y$son conjuntos$\ldots$etc." en el segundo). El Axioma de Elección de Clases implica la existencia de una función de elección global (es decir, una función de clase que es una función de elección para la clase de todos los conjuntos no vacíos), y esta última es, en a su vez, equivalente a la existencia de un buen ordenamiento del universo.

Bueno, es bien sabido que el Axioma de Elección para Conglomerados implica que "Toda categoría tiene un esqueleto" (ver, por ejemplo, el libro de Adamék/Herrlich/Strecker). Por otro lado, Isbell y Wright demostraron en los años 60 que la afirmación "Toda categoría tiene un esqueleto" implica la existencia de un buen ordenamiento del universo.

Mi pregunta es: considerando las siguientes afirmaciones,

"El axioma de elección para los conglomerados"

y

"Cada categoría tiene un esqueleto"

¿Son afirmaciones equivalentes? A primera vista, mi conjetura es que la respuesta es "Sí", pero no encontré ninguna referencia para eso.

Agregado (1): En el libro de Freyd/Scedrov se muestra que el Axioma de Elección para Conjuntos es equivalente a la afirmación "Cada categoría pequeña tiene un esqueleto". Entonces también me pregunto si hay alguna escala de equivalencias entre las formas del Axioma de Elección y las afirmaciones sobre la existencia de esqueletos para ciertas categorías. Quiero decir, considerando las declaraciones como

"Toda pequeña categoría tiene un esqueleto",

"Cada categoría localmente pequeña tiene un esqueleto", y

"Cada categoría tiene un esqueleto", y tal vez otras declaraciones similares de este tipo,

¿podríamos poner cada uno de ellos en correspondencia con alguna forma equivalente del Axioma de Elección? El primero es equivalente al Axioma de Elección de Conjuntos, como acabo de comentar.

Nota: publiqué, algunas horas más tarde, la misma pregunta en MathOverflow, pero luego me dijeron que este no era el procedimiento correcto (debería esperar unos días y luego contactar a los moderadores y pedirles que migren la pregunta). ). Lo siento, no volveré a hacer esto.

Agregado (2): Después de recibir algunos comentarios, parece que el trasfondo de la teoría de conjuntos debería especificarse más. La pregunta se planteó asumiendo los fundamentos habituales de la teoría de categorías, pero, por supuesto, este es un tema muy discutible. En un primer momento, podríamos pensar en ZFC+2 inaccesibles, y luego en dicho entorno codificar las nociones de: conjunto, clase y conglomerado. Sin embargo, que estemos en primer o segundo orden también parece influir en este asunto.

También me dijeron que, efectivamente, el Axioma de Elección de Clases es equivalente al Axioma de Elección de Conglomerados: el argumento de Eric Wofsey (ver su respuesta) me parece correcto.

Entonces, supongo que, de hecho, mi verdadera pregunta es: ¿cómo podemos definir con precisión un trasfondo (tanto categórico como teórico) donde podamos analizar declaraciones como las que se enumeran al final de la pregunta,

"Toda pequeña categoría tiene un esqueleto",

"Cada categoría localmente pequeña tiene un esqueleto",

"Cada categoría tiene un esqueleto", etc.,

y ¿a qué formas del axioma de elección serían equivalentes estas afirmaciones?