¿Es el axioma de los universos 'inofensivo'?

Por lo general, cuando comienzas a estudiar la teoría de categorías, ves la definición habitual: una categoría consiste en una clase O b ( C ) de objetos, etc

Si toma ZFC como su sistema de axiomas, entonces una "clase" (una adecuada) es algo que no puede usar formalmente, ya que todo en el universo del discurso es un conjunto.

Algunas personas (¿MacLane? ¿Grothendieck?) estaban comprensiblemente preocupadas por esto. Recortando la historia de la que no estoy calificado para dar un relato preciso, está la definición del universo de Grothendieck .

Si agregamos el siguiente axioma de universos a ZFC, podemos evitar tener que usar clases:

Axioma de los universos (U): todo conjunto está contenido en algún universo.

Ahora bien, se puede probar que el axioma de los universos es equivalente al

Axioma cardinal inaccesible: por cada cardinal μ, hay un cardinal κ inaccesible que es estrictamente mayor.

que demostró ser independiente de ZFC. Por lo tanto, podemos trabajar en ZFC+U y hacer teoría de categorías con la preocupación de tratar con clases adecuadas puestas en reposo.

Este parece ser ahora un enfoque estándar para una buena base de la teoría de categorías.

Mi pregunta, para decirlo informalmente, es: ¿ qué tan inocente es el axioma de los universos ?

Lo que quiero decir con esto es: ¿cómo sabemos que no tiene consecuencias inesperadas que puedan alterar el resto de las matemáticas? La motivación era dar una buena base de la teoría de categorías, pero no sería razonable dar una gran base que alterara el resto de las matemáticas ordinarias.

Para dar un ejemplo, sabemos que agregar el axioma de elección a ZF tiene algunas consecuencias sorprendentes. Por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski. ¿Cómo sabemos que ZFC+U no tiene algunas consecuencias igualmente sorprendentes? ¿Por qué estamos tranquilos con la adición de este axioma a nuestra base de las matemáticas? ¿No es esta una pregunta bastante delicada? ¿Cuánto sabemos acerca de qué tan bueno es el enfoque del universo? (Yo diría que una base para la teoría de categorías es mejor que otra si resuelve el 'problema de las clases apropiadas' y tiene menos impacto en el resto de las matemáticas).

Solo para comentar su última oración, es decir, "ZFC + Una clase adecuada de cardenales inaccesibles" es suficiente para resolver todos los problemas de "clase adecuada". Sin embargo, esto no es solo una suposición de "único inaccesible", y es bastante más pesado que asumir la existencia de uno o dos cardenales inaccesibles (sin embargo, ni siquiera se acerca a algo como los cardenales de Mahlo). No resuelve todos los problemas de las clases adecuadas, especialmente en la teoría de conjuntos. La paradoja de Russell no nos dice que estamos limitados por la teoría de conjuntos, sino que estamos limitados. Nunca puedes describir tu sistema desde dentro de sí mismo.
Si solo necesita un 'nivel' de clases, entonces NBG puede brindarle una solución satisfactoria. Mac Lane solo asume la existencia de un universo en Categorías para el matemático trabajador . Pero la verdad del asunto es que el categorista de trabajo preferiría tener al menos una infinidad contable de niveles, para que podamos hablar de cosas como la categoría de todos los funtores. Anillo CR → Colocar (relevante, por ejemplo, en el enfoque del funtor de puntos de Grothendieck para la geometría algebraica).
Si lees francés, quizás quieras consultar la contribución de Bourbaki a SGA 4.1.
Relacionado: Este hilo de MO .
Bruno, no tengo 100% claro lo que estás tratando de entender con esta pregunta. Las matemáticas modernas están mucho más abiertas a resultados paradójicos (por ejemplo, Banach-Tarski Banach-Tarski) y las partes que dependen de los universos (es decir, los cardenales medianos y grandes) no son demasiado horribles para soportar. Parece que mucha gente ha aceptado grandes cardinales e incluso axiomas más fuertes que los universos.
@AsafKaragila: Estoy de acuerdo en que la pregunta, como se indicó, puede ser un poco amplia. Por supuesto, nunca podremos enumerar todas las consecuencias del axioma de los universos. Sin embargo, seguro que alguno de ellos hay que conocerlo. Ahora, sé que las consecuencias necesariamente tendrán que ver con problemas de cardinalidad, y probablemente se conocen una plétora de consecuencias en el ámbito de la teoría de conjuntos; Pregunto cuáles son las consecuencias fuera de la teoría de conjuntos relacionada con grandes axiomas cardinales y cuáles son las consecuencias en el resto de las matemáticas. Más ambiciosamente, tal vez se pueda decir algo (continúa)...
... metamatemática y heurísticamente sobre los límites de las consecuencias de este axioma. Sé que todo esto puede ser un poco confuso; Lamento no poder ser más preciso, pero me falta una formación de teoría de conjuntos más profunda para poder formular la pregunta con mayor precisión. Para concluir, cualquier cosa que se diga que esté relacionada con las preocupaciones expresadas en el OP y en estos comentarios, seguramente será bienvenida :)
@Asaf: La recompensa vence pronto. ¿Quizás tienes algo relevante que decir sobre esta pregunta?
No estoy seguro de estar al tanto de muchos problemas no relacionados con la teoría de conjuntos, o incluso más que un puñado de implicaciones de la teoría de conjuntos. Escribiría mi respuesta, pero mi comentario anterior lo resumió bastante.

Respuestas (2)

Lo que quiero decir con esto es: ¿cómo sabemos que no tiene consecuencias inesperadas que puedan alterar el resto de las matemáticas?

Daré un par de comentarios y también vincularé a estas discusiones de MathOverflow:

(1) En teoría de conjuntos, el estudio de cardenales grandes (mucho "más grandes" que simplemente inaccesibles) ha sido muy fructífero. La existencia de muchos de estos grandes cardenales exige la existencia de inaccesibles. Así que los teóricos de conjuntos están interesados ​​en estos grandes cardenales debido a sus útiles (quizás "sorprendentes") consecuencias. Si no hubiera consecuencias interesantes, los teóricos de conjuntos encontrarían otras cosas para observar.

(2) Desde el punto de vista escéptico, no sabemos cuáles podrían ser las consecuencias. Podría ser que ZFC sea consistente pero ZFC más el axioma del universo es inconsistente. Muchas personas llegan a sentir que tienen cierta intuición de que la existencia de universos no es incompatible con ZFC. Esta creencia a menudo proviene de pensar en la forma en que funciona la jerarquía acumulativa. Por otro lado, hay un manuscrito de Kiselev ( enlace ) en el que afirma probar que la existencia de un solo cardenal inaccesible es incompatible con ZFC.

Sabemos que ZFC no puede probar que haya un solo cardenal inaccesible. Y sabemos que no podemos probar en ZFC que la existencia de un inaccesible es consistente, debido a las limitaciones que provienen de los teoremas de incompletitud. Entonces, cualquier argumento de que los inaccesibles son consistentes tendrá que usar métodos que no se pueden formalizar en ZFC.

(3) Adoptar temporalmente una perspectiva platónica, al menos por el bien del argumento. Desde esta posición, cada "axioma" es verdadero o falso, pero no puede alterar las propiedades de los objetos matemáticos, que existen por separado de los axiomas utilizados para estudiarlos. Por supuesto que podemos probar declaraciones falsas a partir de axiomas falsos, pero en realidad no podemos cambiar los objetos mismos.

(4) Ahora rechace temporalmente el platonismo y piense solo en pruebas formales. Entonces no supondrá ninguna diferencia para mi concepción de las matemáticas si alguien más adopta un axioma que yo no acepto. Simplemente pondré un * al lado de todos los teoremas que usan este axioma, y ​​los consideraré dudosos en el mejor de los casos. Incluso podría reprobar algunos de los teoremas sin el nuevo axioma solo para saber que están bien. De esta manera, mi concepción personal de las matemáticas también sería modificada por otras personas que utilizan diferentes axiomas.

Creo que (3) y (4) empiezan a indicar la forma en que entrarán las cuestiones filosóficas cuando nos preguntemos por los efectos de diferentes axiomas sobre las "matemáticas".

(Esta respuesta está marcada como wiki de la comunidad, ya que ya di una respuesta diferente para esta pregunta. Siéntase libre de agregar más enlaces a la lista de enlaces anterior).

Dejaré que otro usuario discuta la fuerza exacta de los axiomas del universo en la teoría de conjuntos. Hay mucho que decir al respecto.

Lo que quiero señalar es que, para las aplicaciones reales de los métodos teóricos de categorías a la teoría de números, como el último teorema de Fermat (FLT), parece que se puede eliminar el uso de universos. Por ejemplo, Colin McLarty publicó un artículo ( ref , preprint ) en el Bulletin of Symbolic Logic en 2010 en el que afirma:

"Este trabajo pretende explicar cómo y por qué coexisten tres hechos:

  1. Los universos organizan un contexto para los cálculos aritméticos bastante explícitos que prueban FLT u otra teoría de números.
  2. Los dispositivos conocidos pueden eliminar los universos a favor de ZFC, aunque esto nunca se hace (y esto sigue siendo mucho más fuerte que PA).
  3. Las grandes pruebas en la teoría de números cohomológicos, como Wiles [1995] o Deligne [1974], o Faltings [1983], usan universos de hecho".

La afirmación clave que quiero resaltar es (2): mucha gente cree que los métodos que usan universos no son necesarios para obtener resultados concretos como el teorema de Wiles y, en principio, las pruebas se pueden reescribir sin ellos. No estoy en posición de juzgar el reclamo, pero parece ser aceptado por bastantes personas que han investigado el asunto. Existe una conjetura abierta de que el último teorema de Fermat se puede demostrar en la aritmética de Peano e incluso en teorías mucho más débiles, y en la actualidad no tenemos motivos para sospechar que FLT no se puede demostrar en la aritmética de Peano.

Esto hace que la cuestión fundamental de los universos sea más interesante: se usan, claramente, pero los teóricos de números que trabajan saben cómo evitarlos si lo desean, lo que genera una especie de tensión. Este es el problema al que se dirige McLarty en su artículo.

El anuncio de progreso más reciente de McLarty indica que ha progresado aún más desde su artículo de 2010.

Con respecto a 3. No soy un experto en absoluto, pero recuerdo claramente este hilo de MO .
Esta respuesta es muy interesante como comentario: dado que la recompensa está llegando a su fin, te la otorgaré. No considero que realmente responda la pregunta, como usted mismo señala en el primer párrafo, por lo tanto, dejaré esta pregunta sin marcar.
@Bruno Stonek: ¡Gracias! Haré todo lo posible para escribir una respuesta a la pregunta por separado, a cambio. Esperaba que alguien más escribiera uno, así que dudé. Pero puedo decir algo al menos. Lo escribiré mañana.
@CarlMummert: ¡Genial! Estoy deseando que llegue :)
¿Es el axioma de los universos 'inofensivo'?
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