Por lo general, hay dos estilos expositivos sobre forzar: interno (forzar sobre el universo ) y externa (obligación de una ctm ); Supongo que si usar poset general o finalización booleana no es esencial. En el primer enfoque obtenemos un modelo de valor booleano, y en el segundo un ctm más grande . De todos modos, el forzamiento muestra la independencia de algunos enunciados como CH, pero, si soy un platónico que cree que hay un universo de conjuntos "absoluto" o "real", ¿qué me dice el forzamiento sobre el universo?
Hago esta pregunta porque muchas personas parecen estar de acuerdo en que si algo es fácil o incluso posible de forzar, entonces debería ser cierto en el universo real. Por ejemplo, en el artículo Believing the Axioms I , sección 2, el autor enumera varios argumentos a favor/en contra de CH, el último de los cuales dice que es mucho más fácil forzar CH que no-CH, por lo que debería ser cierto. También tenemos el popular axioma PFA; Sé muy poco sobre los cardenales grandes, pero parece que la consistencia de PFA generalmente se prueba forzando, y no muchos axiomas cardinales grandes implican directamente PFA; sin embargo, mucha gente cree que la PFA es cierta. ¿Por qué una ctm o un modelo de valor booleano que satisface PFA indica su verdad en el universo real?
Por otro lado, digamos que soy más flexible y no platónico. Cuando forzo, diga Cohen, ¿estoy jugando juegos formales con ctms/modelos con valores booleanos, o estoy realmente imaginando agregar un nuevo conjunto al universo actual? Si es esto último, ¿cómo me convenzo de la existencia de filtro genérico? ? Además, dado que cualquier cardinal puede colapsarse forzándolo, tendría que admitir que todos los conjuntos son contables y que la incontabilidad es solo una ilusión (Dana Scott parece sugerir esto en su prólogo del libro Teoría de conjuntos: modelos con valores booleanos y pruebas de independencia )?
Algunas otras preguntas aleatorias: recuerdo haber leído que existe un punto de vista de que nunca podremos llegar a todo el universo , y cualquier modelo (no necesariamente contable) se puede ampliar a uno con más reales, pero no encuentro la referencia. He oído hablar del punto de vista del multiverso de Hamkins, pero no estoy seguro de estar listo para aceptar que todos los modelos están mal fundados...
Si crees que existe un solo universo, entonces forzar no te dice absolutamente nada acerca de su verdad.
Te dice algo sobre los límites de lo que puedes probar. Si solo quieres asumir que el universo satisface , entonces forzar le dice que no puede determinar si es verdadero, o si hay árboles Suslin, o si el Axioma de Martin es verdadero.
Forzar le permite calibrar su punto de vista sobre lo que debería ser cierto en virtud de lo que se puede forzar, o "cuán fácil es forzar una declaración" utilizando alguna medida subjetiva de "fácil" (posiblemente es más fácil forzar , ya que solo necesita agregar reales Cohen con un forzamiento ccc; y podría decirse que es más fácil forzar ya que siempre puedes hacer eso sin cambiar los números reales agregando una biyección entre y . Ambos argumentos son igualmente buenos/malos).
Si no eres un platónico, entonces la forma en que ves el forzamiento depende realmente de la forma en que prefieras pensar al respecto. En mi primer artículo hablo de modelos contables y demás, porque todavía no me sentía cómodo con la maquinaria de forzar, pero en artículos posteriores este ya no es el caso. Sin embargo, algunos teóricos de conjuntos que tienen mucha más experiencia que yo todavía hablan de modelos contables, porque así es como ven el forzamiento. Es algo personal, y mientras entiendas, al menos en teoría, por qué todos los enfoques son iguales, matemáticamente hablando, no deberías tener ningún problema.
Hace un rato, escribí un artículo abordando algunas preocupaciones relacionadas con lo que tienes aquí:
Barton, N. Forcing y el universo de conjuntos: ¿Debemos perder la percepción?. J Philos Logic 49, 575–612 (2020). https://doi.org/10.1007/s10992-019-09530-y
Agregaré un resumen muy breve de lo que argumento allí:
Existe la presión de querer proporcionar interpretaciones "agradables" del forzamiento, ya que el forzamiento es más que una herramienta para probar la consistencia relativa. También podemos formular axiomas sobre conjuntos incontables usando forzamiento (por ejemplo, cardenales notables) y demostrar teoremas sobre conjuntos incontables en el universo usando forzamiento (cf. el libro de Todorčević y Farah, el resultado de Malliaris y Shelah de que ).
Puede obtener interpretaciones "agradables" de forzar dentro del universo, donde el modelo que usa es muy "cercano" a en ciertos sentidos.
Con respecto a la verdad y el forzamiento, un gran ejemplo aquí es Bagaria, quien ha escrito varios artículos sobre la idea de los axiomas de forzamiento acotados, que afirman aproximadamente que si tienes cierto tipo de conjunto en una extensión de forzamiento, entonces puedes encontrar uno en el universo.
[Bagaria, 2005] Bagaria, J. (2005). Axiomas naturales de la teoría de conjuntos y el problema del continuo. En Actas del 12º Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia, páginas 43–64. Publicaciones del King's College de Londres.
[Bagaria, 2006] Bagaria, J. (2006). Axiomas de absolutismo genérico, páginas 28–47. Apuntes de clase de lógica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
[Bagaria, 2008] Bagaria, J. (2008). Teoría de conjuntos. En The Princeton Companion to Mathematics, páginas 302–321. Prensa de la Universidad de Princeton
Se necesitan controles estrictos para que todo sea consistente con . (Observe que ambos y son por lo que necesitará alguna restricción en las fórmulas permitidas. Los parámetros también son peligrosos en el -contexto, ya que se puede colapsar o algún otro conjunto incontable en una extensión). Sin embargo, al final, si desea tener un principio de que cualquier cosa forcable es verdadera, se verá empujado en la dirección de que todos los conjuntos sean contables. (A riesgo de sobrecargar mi propio trabajo, también he escrito sobre esto: "Principios de contabilidad y maximalidad" https://philarchive.org/rec/BARCAM-5 ) .
Ah, y con respecto al "multiversismo" en presencia de fundamento, ver:
Steel, John, 2014, “Programa de Gödel”, en Interpreting Gödel, Kennedy, J. (ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
Meadows, Toby, Infinitismo ingenuo: el caso de un enfoque de inconsistencia para las colecciones infinitas.
Scambler, C. ¿Se pueden contar todas las cosas?. J Philos Logic 50, 1079–1106 (2021). https://doi.org/10.1007/s10992-021-09593-w
Arrigoni, T y Friedman, S.-D. (2013). El Programa Hiperuniverso. El Boletín de Lógica Simbólica, 19(1), 77–96. http://www.jstor.org/stable/41825307
asaf karaguila
Neil Barton