¿Por qué el teorema de Liouville es obvio?

En Mecánica de Florian Scheck , estableció la forma local del teorema de Liouville de la siguiente manera:

Dejar Φ t , s ( X ) sea ​​el flujo de la ecuación diferencial

− j d d t X = H X .
Entonces para todos X , t , s para el cual se define el flujo, tenemos
D Φ t , s ( X ) ∈ S pag 2 F .

En su prueba afirmó que

d d t [ D Φ t , s ( X ) T j D Φ t , s ( X ) ] = 0
Así desde
D Φ t , s ( X ) T j D Φ t , s ( X ) = j
cuando t = s , probamos el teorema.

Mi pregunta es: ¿ Por qué en t = s ,

D Φ s , s ( X ) T j D Φ s , s ( X ) = j
sostiene? El autor afirmó que esto es 'obvio', pero no lo es para mí. Matemáticamente t = s solo significa que el flujo comienza en el momento t = s por el cual se define. Entonces podemos usar s = 0 sin perder generalidad. Pero, ¿por qué la ecuación de Hamilton
− j d D Φ t , s , t = s ( X ) d t = D H X ∘ D Φ t , s , t = s ( X )

implicar

D Φ s , s ( X ) T j D Φ s , s ( X ) = j ?
Escribiendo esto en forma de matriz de bloques deberíamos tener esto igual a det [ D Φ s , s ] j en cambio. Y no sabemos como antes det [ D Φ s , s ] = 1 .

Respuestas (3)

La razón por la que es obvio es porque el flujo hamiltoniano es una transformación canónica en el espacio de fase, y esto significa que el jacobiano del flujo hamiltoniano, que realiza una transformación lineal en el espacio tangente de D Φ , conserva la forma simpléctica.

El camino D Φ transforma la forma simpléctica J es lo que escribió, y el hecho de que conserve J implica el teorema de Liouville. Pero es difícil argumentar cuál implica cuál, ya que son simplemente equivalentes entre sí. Para ver que el flujo hamiltoniano es una transformación canónica, elija coordenadas canónicas y evolucione x y p en una cantidad infinitesimal dt a nuevas coordenadas:

X i + ∂ pag i H d t
pag j − ∂ X j H d t

luego verifique que el corchete de Poisson de estas nuevas coordenadas X i ′ , pag j ′ (usando las antiguas coordenadas para calcular el corchete de Poisson) sigue siendo d i j , por lo que siguen siendo canónicos y J no ha cambiado. Esto se deriva de la cancelación de la segunda derivada parcial de H en el cálculo del corchete de Poisson, y esto muestra que J se conserva en cada paso de tiempo, por lo que debe conservarse integrando la ecuación diferencial en un tiempo finito. Hay un millón de formas de decir lo mismo, algunas superficialmente más rigurosas, pero esta es suficiente.

Genial como siempre; Me gustaría agregar el comentario de que, hasta cierto punto, definimos un sistema de coordenadas canónicas por el hecho de que se conserva bajo el flujo hamiltoniano. Alternativamente, uno puede tomar la vista covariante y decir que estamos tratando de poner coordenadas en el espacio de los movimientos físicos, que son constantes como la posición y el momento de una partícula en un momento particular; si el sistema tiene alguna coordenada de referencia preferida, como el tiempo, se requeriría una transformada que preserve el volumen entre coordinaciones relacionadas por transformadas en el tiempo.
@Ron Maimon: Esto es útil, pero no tan transparente para un profano como yo (que aprendió el soporte Possion ayer). Así que tengo que pasar algún tiempo para entender esto. Gracias por la ayuda.
@ user32240: No es transparente si no está familiarizado con estas cosas --- debe hacer explícitamente el cálculo de PB que di --- no es nada difícil. El punto aquí es que es como hacer una rotación en pequeños incrementos que preservan los productos escalares. El PB es una estructura matemática, como un producto escalar, excepto que no es un producto escalar, codificado por J. Cuando la evolución temporal conserva el producto escalar, se obtiene la rotación, cuando la evolución temporal conserva J, es simpléctica. Necesitas internalizar esto, y luego todo esto es obvio, pero requiere revisarlo cuidadosamente una vez.
@genneth: Estoy de acuerdo, pero no es obvio a priori que tal cosa sea posible, por lo que necesita una demostración explícita de que funciona con las coordenadas canónicas habituales. Si tiene una ecuación diferencial que destruye el volumen (como con la fricción), cualquier intento de encontrar coordenadas canónicas sería contraproducente.
@RonMaimon: De acuerdo. Realmente nunca lo había pensado tanto, pero en principio, ¿sería suficiente exigir que la dinámica sea reversible? Pero incluso eso no es necesario ya que postulamos que existen trayectorias, y solo necesitamos elegir coordenadas para ellas. La existencia de los pares canónicos no es obvia y fundamentalmente requiere que el Lagrangiano sea de primer orden; pero, de manera más general, no es trivial en presencia de calibre que impide una elección global ( ncatlab.org/nlab/show/phase+space ).
@genneth: si todas las trayectorias se hunden hasta un equilibrio, como en el flujo de gradiente, si desea hacer un espacio de fase de trayectoria, debe expandir la región cerca del punto fijo con el tiempo, para que el volumen permanezca constante. Esto es claramente ridículo. Lo que hace que el espacio de fase sea natural es que las trayectorias en sí mismas preservan la información en un sentido fuerte en la mecánica clásica no disipativa. No creo que esto sea obvio a priori. Puede encontrar diff eqs donde el colapso de dos trayectorias juntas ocurre en un tiempo finito, y esto es obviamente incompatible con el espacio de fase.

Parece que nadie respondió a su pregunta específica, así que aquí va. Φ s , s es solo el mapa de identidad en el espacio de fase (consulte la sección 1.20 en la tercera edición del libro de Scheck si esto no le queda claro). Por lo tanto D Φ s , s ( X ) = I 2 norte , el 2 norte × 2 norte matriz de identidad.

@user32240: El determinante es obviamente 1 en t=s (en lo que otras personas llaman t=0), todavía no es obviamente 1 en otros momentos. Esto requiere mostrar que la derivada es cero, y este es el negocio de la conmutación. Este es el contenido irreductible del teorema de Liousville (o el carácter simpléctico de la evolución temporal) y no hay simplificación posible que lo evite.
@RonMaimon: una doble verificación de la prueba del autor verificó su afirmación, gracias.

Hay mejores formas de hacer esto, pero estoy tratando de calcular usando la sugerencia de Ron Maimon. Entonces, para simplificar las cosas, solo asumiré dos variables (espero que otras variables no importen). Entonces nosotros tenemos

q i ′ = q i + d d pag i H d t
y
pag i ′ = pag i − d d q i H d t

De este modo

{ q 1 ′ , pag 2 ′ } = [ d q 1 ′ d q 1 d pag 2 ′ d pag 1 − d q 1 ′ d pag 1 d pag 2 ′ d q 1 ] + [ d q 1 ′ d q 2 d pag 2 ′ d pag 2 − d q 1 ′ d pag 2 d pag 2 ′ d q 2 ]

Darse cuenta de

d q i ′ d q j = d i j + d 2 d pag i d q j H d t ; d q i ′ d pag j = d 2 d pag i d pag j H d t

Deberíamos tener el primer término para ser

( 1 + d d pag 1 d q 1 H d t ) ( − d d q 2 pag 1 H d t ) + ( d 2 d pag 1 2 H d t ) ( d d q 2 d q 1 H d t )
después de la expansión y la cancelación, esto nos deja con
− d d q 2 d pag 1 H d t

El segundo término después de la expansión y la cancelación nos deja con

d d q 2 d pag 1 H d t

Entonces, de hecho, se cancelan entre sí y verificamos { q 1 ′ , pag 2 ′ } = 0 . el otro calculo { q i ′ , pag i ′ } = 1 debe ser en gran medida similar.

La única parte de esto que está mal es que hay mejores maneras de hacerlo. No hay mejores formas de hacer esto, todas son equivalentes a esto en el fondo. Esta no es una respuesta, y debe eliminarse, cualquiera puede reproducirla, este es el punto.
@RonMaimon: quiero decir que al darme cuenta de que el determinante es 1, la prueba simplemente sigue. Es más fácil que trabajar con las derivadas parciales mixtas.
¡Absolutamente no! El determinante no es obviamente uno en todo momento, eso no es lo que está pasando, es solo obviamente 1 en t=s, cuando no hay transformación. La derivada del determinante con respecto al tiempo es cero y mostrar esta declaración de cualquier forma que lo hagas contiene el cálculo con derivadas parciales mixtas. Este cálculo es el mínimo irreductible para comprender el resultado, todas las demostraciones lo contienen, y esto es todo lo no trivial que contienen. No hay otra manera, solo esta.
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