¿Existe una especie de teorema de Noether para el formalismo hamiltoniano?

Formulación de acciones. Se debe enfatizar que el teorema de Noether es una declaración sobre las consecuencias de las simetrías de una acción funcional (a diferencia de, por ejemplo, simetrías de ecuaciones de movimiento, o soluciones de las mismas, cf. esta publicación de Phys.SE). Entonces, para usar el teorema de Noether, primero que nada necesitamos una formulación de acción. ¿Cómo obtenemos una acción para una teoría hamiltoniana? Bueno, para simplificar, consideremos la mecánica de puntos (a diferencia de la teoría de campos, que es una generalización directa). Entonces la acción hamiltoniana dice

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t). \tag{1}$$

Aquí$L_H$es el llamado hamiltoniano lagrangiano

$$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{2}$$

Podemos ver la acción (1) como un sistema Lagrangiano de primer orden$L_H(z,\dot{z},t)$en el doble de variables

$$(z^1,\ldots,z^{2n}) ~=~ (q^1, \ldots, q^n;p_1,\ldots, p_n).\tag{3}$$

ecuaciones de movimiento Se puede probar que las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) para la acción hamiltoniana (1) conducen a las ecuaciones de movimiento de Hamilton

$$\begin{align} 0~\approx~&\frac{\partial S_H}{\partial z^I} ~=~\sum_{J=1}^{2n}\omega_{IJ}\dot{z}^J -\frac{\partial H}{\partial z^I}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{z}^I~\approx~&\{z^I,H\}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{q}^i~\approx~& \{q^i,H\} ~=~\frac{\partial H}{\partial p_i}\cr \qquad \wedge&\qquad\cr \dot{p}_i~\approx~& \{p_i,H\}~=~-\frac{\partial H}{\partial q^i}. \end{align}\tag{4}$$

[Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad en el caparazón, es decir, módulo de las ecuaciones de movimiento (eom).] De manera equivalente, para una cantidad arbitraria$Q=Q(q,p,t)$podemos escribir colectivamente los eoms de Hamilton (4) como

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~ \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}.\tag{5}$$

Volviendo a la pregunta de OP, el teorema de Noether se puede aplicar a la acción hamiltoniana (1) para investigar simetrías y leyes de conservación.

Declaración 1: "Una simetría es generada por su propia carga de Noether".

Demostración esbozada: Sea dada una transformación infinitesimal (vertical)

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \epsilon Y^I(q,p,t), \cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{6}$$

dónde$Y^I=Y^I(q,p,t)$son generadores (verticales), y$\epsilon$es un parámetro infinitesimal. Sea la transformación (6) una cuasisimetría del hamiltoniano lagrangiano

$$\delta L_H~=~\epsilon \frac{d f^0}{dt},\tag{7}$$

dónde$f^0=f^0(q,p,t)$es alguna función. Por definición, la carga desnuda de Noether es

$$Q^0~:=~ \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} Y^I \tag{8}$$

mientras que la carga completa de Noether es

$$Q~:=~Q^0-f^0. \tag{9}$$

El teorema de Noether garantiza entonces una identidad de Noether fuera de la cáscara

$$\begin{align} \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} &+\frac{\partial Q}{\partial t}\cr ~=~& \frac{dQ}{dt}\cr ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n} \frac{\delta S_H}{\delta z^I}Y^I \cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{I,J=1}^{2n}\dot{z}^I\omega_{IJ}Y^J\cr &+\sum_{I=1}^{2n} \frac{\partial H}{\partial z^I}Y^I . \end{align} \tag{10}$$

Al comparar funciones de coeficientes de$\dot{z}^I$en los 2 lados de la ec. (10), concluimos que la carga total de Noether$Q$genera la transformación de cuasisimetría

$$Y^I~=~\{z^I,Q\}.\tag{11}$$ $\Box$

Declaración 2: "Un generador de simetría es esencialmente una constante de movimiento".

Demostración esbozada: Sea dada una cantidad$Q=Q(q,p,t)$(a priori no necesariamente la carga de Noether) tal que la transformación infinitesimal

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \{z^I,Q\}\epsilon,\cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\cr \delta q^i~=~&\frac{\partial Q}{\partial p_i}\epsilon, \cr \delta p_i~=~& -\frac{\partial Q}{\partial q^i}\epsilon, \cr &i~\in~\{1, \ldots, n\},\end{align}\tag{12}$$

generado por$Q$, y con parámetro infinitesimal$\epsilon$, es una cuasisimetría (7) del hamiltoniano lagrangiano. La simple acusación de Noether es, por definición,

$$\begin{align} Q^0~:=~& \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}.\end{align}\tag{13}$$

El teorema de Noether garantiza entonces una identidad de Noether fuera de la cáscara

$$\begin{align} \frac{d (Q^0-f^0)}{dt} ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} +\{H,Q\}\cr ~=~&\frac{dQ}{dt}-\frac{\partial Q}{\partial t} +\{H,Q\}. \end{align}\tag{14}$$

En primer lugar, el teorema de Noether implica que la correspondiente carga completa de Noether$Q^0-f^0$se conserva en la concha

$$\frac{d(Q^0-f^0)}{dt}~\approx~0,\tag{15}$$

que también se puede inferir directamente de las ecs. (5) y (14). En segundo lugar, la identidad de Noether fuera de la cáscara (14) se puede reescribir como

$$\begin{align} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t} ~\stackrel{(14)+(17)}{=}&~\frac{dg^0}{dt}\cr ~=~~~&\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial g^0}{\partial z^I}+\frac{\partial g^0}{\partial t},\end{align}\tag{16}$$

donde hemos definido la cantidad

$$g^0~:=~Q+f^0-Q^0.\tag{17}$$

Concluimos de la identidad fuera de la cáscara (16) que (i)$g^0=g^0(t)$es una función del tiempo solamente,

$$\frac{\partial g^0}{\partial z^I}~=~0\tag{18}$$

[porque$\dot{z}$no aparece en el lhs. de la ec. (dieciséis)]; y (ii) que se cumple la siguiente identidad fuera del caparazón

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t} ~=~\frac{\partial g^0}{\partial t}.\tag{19}$$

Tenga en cuenta que la cuasisimetría y las ecs. (12)-(15) son invariantes si redefinimos el generador

$$Q ~~\longrightarrow~~ \tilde{Q}~:=~Q-g^0 .\tag{20}$$

Entonces el nuevo$\tilde{g}^0=0$desaparece Eliminando la tilde de la notación, la identidad fuera de la capa (19) se simplifica a

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0.\tag{21}$$

ecuación (21) es la ecuación definitoria para una constante de movimiento fuera de la capa $Q$.

$\Box$

Declaración 3: "Una constante de movimiento genera una simetría y es su propia carga de Noether".

Prueba esbozada: a la inversa, si se da una cantidad$Q=Q(q,p,t)$tal que la ec. (21) se mantiene fuera de la cáscara, entonces la transformación infinitesimal (12) generada por$Q$es una cuasisimetría del hamiltoniano lagrangiano

$$\begin{align} \delta L_H ~\stackrel{(2)}{=}~~& \sum_{i=1}^n\dot{q}^i \delta p_i -\sum_{i=1}^n\dot{p}_i \delta q^i \cr &-\delta H +\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^np_i \delta q^i \cr ~\stackrel{(12)+(13)}{=}&~ -\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I}\epsilon\cr &-\{H,Q\}\epsilon + \epsilon \frac{d Q^0}{dt}\cr ~\stackrel{(21)}{=}~~& \epsilon \frac{d (Q^0-Q)}{dt}\cr ~\stackrel{(23)}{=}~~& \epsilon \frac{d f^0}{dt},\end{align}\tag{22}$$

porque$\delta L_H$es una derivada del tiempo total. Aquí hemos definido

$$f^0~=~ Q^0-Q .\tag{23}$$

El correspondiente cargo completo de Noether

$$Q^0-f^0~\stackrel{(23)}{=}~Q \tag{24}$$

es solo el generador$Q$empezamos con! Finalmente, el teorema de Noether establece que la carga total de Noether se conserva en el caparazón.

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~0.\tag{25}$$

ecuación (25) es la ecuación definitoria para una constante de movimiento en el caparazón $Q$.

$\Box$

Discusión. Tenga en cuenta que es excesivo usar el teorema de Noether para deducir la ec. (25) de la ec. (21). De hecho, la ec. (25) se sigue directamente de la suposición inicial (21) mediante el uso de los eoms de Hamilton (5) sin el uso del teorema de Noether. Por las razones anteriores, como puristas, desaprobamos la praxis común de referirse a la implicación (21)$\Rightarrow$(25) como una 'versión hamiltoniana del teorema de Noether'.

Curiosamente, el teorema de Noether inverso funciona para la acción hamiltoniana (1), es decir, una ley de conservación en el caparazón (25) conduce a una cuasisimetría fuera del caparazón (12) de la acción (1), cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

De hecho, se puede demostrar que (21)$\Leftrightarrow$(25), cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

Ejemplo 4: El problema de Kepler: Las simetrías asociadas con la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz en el problema de Kepler son difíciles de entender a través de una formulación puramente lagrangiana en el espacio de configuración

$$L~=~ \frac{m}{2}\dot{q}^2 + \frac{k}{q},\tag{26}$$

pero puede describirse fácilmente en la formulación hamiltoniana correspondiente en el espacio de fase, cf. Wikipedia y esta publicación de Phys.SE.

Si su hamiltoniano es invariable, eso significa que debería haber un corchete de Poisson que se desvanezca para alguna función$F(q,p)$de sus coordenadas canónicas para que

$$\{ H(q,p), F(q,p)\} = 0$$ Como el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano también da la derivada temporal, automáticamente tienes tu ley de conservación.

Una cosa a tener en cuenta: el lagrangiano es una función de la posición y la velocidad, mientras que el hamiltoniano es una función de la posición y el momento. Por lo tanto, su$T$y$V$en$L = T - V$y$H = T + V$no son las mismas funciones.