Traslaciones y teorema de Noether

Una traducción de$x^\nu \to x^\nu - \epsilon^\nu$corresponde a una transformación infinitesimal de los campos, por

$$\phi \to \phi + \epsilon^\nu \partial_\nu \phi$$

ya que estamos realizando una transformación activa en lugar de pasiva. El lagrangiano se transforma como,

$$\mathcal{L}\to \mathcal{L}+\epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L}$$

sustituyendo$\phi$en el lagrangiano. Observe que el cambio depende de una derivada total y, por lo tanto, el teorema de Noether es aplicable a la simetría. La densidad de corriente conservada viene dada por,

$$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}X(\phi)-F^\mu(\phi)$$

dónde$X=\delta\phi$y$F^\mu$es tal que$\partial_\mu F^\mu=\delta \mathcal{L}$infinitesimalmente Para nuestro caso, obtenemos el tensor esfuerzo-energía simétrico (análogo al de la relatividad general),

$$T^\mu_\nu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

donde se eleva el delta de Kronecker con la métrica de Minkowski. La corriente satisface,$\partial_\mu T^{\mu}_\nu = 0$, y el cargo Noether correspondiente,

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}$$

es la energía total del sistema, mientras que,

$$P^i = \int \mathrm{d}^3 x \, T^{0i}$$

es el$i$ª componente de la cantidad de movimiento total del campo, donde$i=(x,y,z)$solo. Una advertencia : el tensor tensión-energía derivado del teorema de Noether no siempre es simétrico y puede requerir la adición de un término que satisfaga la ecuación de continuidad y asegure la simetría en los índices.

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Metodo alternativo

Recuerde que para obtener las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general, podemos variar la acción de Einstein-Hilbert,

$$S\sim \int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{-g} \, \left( R + \mathcal{L}\right)$$

De manera similar, en la teoría cuántica de campos, podemos promover nuestra métrica de Minkowski a un tensor métrico genérico, reemplazando así el término cinético del Lagrangiano con derivadas covariantes. Hasta algunas constantes, el tensor esfuerzo-energía viene dado por

$$T^{\mu\nu} \sim \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial (\sqrt{-g}\mathcal{L})}{\partial g^{\mu\nu}}$$

evaluado en $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, que es precisamente la definición que implementamos al obtener las ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general.