¿El teorema de Noether también da lugar a cantidades conservadas en el espacio?

En la mecánica lagrangiana básica (del tipo que se cubre en una clase de mecánica clásica de segundo año), no, no lo hace. La razón es que el tiempo juega un papel especial en la teoría lagrangiana básica: es el único parámetro independiente, del cual todo lo demás se expresa en función. Esto está relacionado con el hecho de que la acción es la integral del Lagrangiano en el tiempo , no en el espacio, y eso a su vez significa que la versión "clásica" del teorema de Noether solo funciona para la conservación en el tiempo.

Sin embargo, cuando se generaliza a la teoría de campos, la situación cambia: en la teoría de campos, tanto las coordenadas de tiempo como las de espacio se consideran parámetros independientes, de modo que todo lo demás se expresa como una función tanto del tiempo como del espacio. En particular, en lugar del Lagrangiano clásico, tienes una densidad Lagrangiana$\mathcal{L}$, que te permite expresar la acción como una integral de espacio-tiempo,

$$S = \int \mathcal{L}\mathrm{d}^4x$$

Entonces, la versión de la teoría de campos del teorema de Noether no asigna ningún estatus especial al tiempo. En lugar de leyes de conservación temporal ($\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$), te da leyes de conservación del espacio-tiempo de la forma

$$\frac{\partial j^\mu}{\partial x^\mu} = 0$$

Puede convertir esto en una ley de conservación temporal integrando la actual$j^\mu$sobre un volumen similar al espacio (es decir, todo el espacio en un solo momento en el tiempo):

$$Q = \int_{t=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$$

pero también puede convertirlo en una ley de conservación espacial integrando sobre un volumen espaciotemporal:

$$Q = \int_{x=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = 0$$

Entonces, de esta manera, sí es posible crear una ley de conservación espacial usando el teorema de Noether.

Sí, en un entorno teórico de campo. Considere un$3+1$espacio-tiempo plano dimensional por simplicidad. El teorema de Noether da lugar a una ley de conservación de la forma

$$d_{\mu} J^{\mu}(x)=0,$$

es decir, la corriente de Noether$J^{\mu}(x)$es una corriente de cuatro sin divergencia. [Usamos el símbolo$d_{\mu}$(en vez de$\partial_{\mu}$) para enfatizar el hecho de que la derivada$d_{\mu}$es una derivada total , que implica tanto la diferenciación implícita a través de las variables de campo$\phi^{\alpha}(x)$, y diferenciación explícita wrt.$x^{\mu}$.]

Digamos que queremos considerar una cantidad$Q$eso es la independencia del$x^1$-coordinar. Definir el llamado 'cargo'$Q=Q(x^1)$integrando$J^1(x)$sobre el$2+1$plano dimensional con fijo$x^1$-coordinar$x^1$. Entonces es fácil mostrar usando un$2+1$teorema de la divergencia dimensional que

$$d_{1} Q(x^1)=0$$

imponiendo las condiciones de contorno pertinentes.

La construcción anterior se puede generalizar ampliamente a un marco geométricamente covariante, donde la dirección preferida está dada por un campo vectorial que no desaparece, que puede ser similar al tiempo, al espacio, a la luz o alguna combinación.