¿Corriente de Noether en QFT con variaciones dependientes de la posición?

Question

¿Corriente de Noether en QFT con variaciones dependientes de la posición?

Espaguetificación cuántica

Configuración

Considere un mapeo $F$ que toma cada punto $x$ en el múltiple $M$ al punto $x'$ en el mismo múltiple. Bajo este mapeo el campo $\phi(x)$ evaluado en el punto $x$ cambios a $\phi'(x)$ cuando se evalúa en el mismo punto $x$ en el múltiple o $\phi'(x')$ cuando se evalúa en el punto mapeado $x'$ . La acción antes del mapeo viene dada por:

S = \int d^{D} X L (ϕ (X), \partial_{m} ϕ (X), X)

$S=\int d^Dx \mathcal{L}(\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x)$ mientras que después del mapeo es:

S^{'} = \int d^{D} X^{'} L (ϕ^{'} (X^{'}), \partial_{m}^{'} ϕ^{'} (X^{'}), X^{'})

$S'=\int d^D x' \mathcal{L}(\phi'(x'), \partial'_\mu \phi'(x'),x')$ Me estoy centrando aquí en el caso de QFT, lo que significa que las integrales están sobre todo el espacio de Minkowski.

Teorema de Noether

Según el teorema de Noether una simetría continua que deja la acción invariante:

Δ S = S^{'} - S = 0

$\Delta S=S'-S=0$ corresponde a una cantidad conservada.

Las dos formas de la Corriente de Noether

Me he encontrado con dos formas de la corriente de Noether (Peskin & Schroeder, $\S$ 2.2):

\begin{matrix} (1) & j^{m} (X) = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d ϕ - j^{m} \end{matrix}

$j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi)} \delta \phi - \mathcal{J}^\mu\tag{1}$ dónde

J^{μ}

$\mathcal{J}^\mu$ se define por el mapeo de

L

$\mathcal{L}$ :

L (X) \mapsto L (X) + α \partial_{m} j^{m} (X)

$\mathcal{L}(x) \mapsto \mathcal{L}(x)+\alpha \partial_\mu \mathcal{J}^\mu(x)$ y (Goldstein, 3.ª ed.,

§

$\S$ 13.7):

\begin{matrix} (2) & j^{v} = (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} \partial_{σ} ϕ - L d_{σ}^{v}) X^{σ} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} Ψ \end{matrix}

$j^\nu =\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi \tag{2}$ Dónde

δ x^{ν} = ϵ X^{ν}

$\delta x^\nu=\epsilon X^\nu$ y

δ ϕ = ϵ Ψ

$\delta \phi=\epsilon \Psi$ .

Problema con el formulario (1)

Considere el caso de la dilatación $x^\mu \mapsto (1+\delta\lambda )x^\mu$ entonces:

L (X) \mapsto L (X) + d λ X^{m} \partial_{m} L

$\mathcal{L}(x) \mapsto \mathcal{L}(x)+\delta \lambda x^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$ aqui el cambio de

L

$\mathcal{L}$ no se puede escribir como una divergencia exacta (también cambiará la métrica de integración). Por lo tanto, esto no parece compatible con (1).

Problema con el formulario (2)

En la derivación de (2) obtenemos la siguiente expresión:

\begin{matrix} (13.147) & \int ϵ \frac{d}{d X^{v}} ((\frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} \partial_{σ} ϕ - L d_{σ}^{v}) X^{σ} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} Ψ) d^{4} X = 0 \end{matrix}

$\int \epsilon \frac{d}{d x^\nu} \left(\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi\right)d^4x =0\tag{13.147}$ de esto Goldstein parece inferir que

\begin{matrix} (13.148) & \frac{d}{d X^{v}} ((\frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} \partial_{σ} ϕ - L d_{σ}^{v}) X^{σ} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ)} Ψ) = 0 \end{matrix}

$\frac{d}{d x^\nu} \left(\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi\right)=0\tag{13.148}$ lo cual, dado que tenemos un rango fijo de integración (la totalidad del espacio), no veo ninguna razón por la que esto deba mantenerse.

Pregunta

Mi pregunta es, ¿cuál es, por lo tanto, la forma más general de la corriente de Noether que puede lidiar con cosas como escalar? ¿Y mis dos preocupaciones anteriores están justificadas?

prahar

En (1) estás olvidando la transformación de

d^{d} x

$d^dx$ (

d

$d$ es la dimensión del espacio-tiempo). Bajo

x^{μ} \to (1 + δ λ) x^{μ}

$x^\mu \to ( 1 + \delta \lambda ) x^\mu$ , tenemos

d^{d} x L \to d^{d} x (1 + d δ λ) (L + δ λ x^{μ} \partial_{μ} L = d^{d} x [L + δ λ \partial_{μ} (x^{μ} L)]

$d^dx {\cal L} \to d^d x ( 1 + d \delta \lambda) ( {\cal L} + \delta \lambda x^\mu \partial_\mu {\cal L} = d^d x [ {\cal L} + \delta \lambda \partial_\mu ( x^\mu {\cal L} ) ]$ .

Espaguetificación cuántica

@Prahar Ok, pensé que tenía algo que ver con esto. Supongo que esto significa que la contribución

(1 + d δ λ)

$(1+d\delta \lambda)$ se incluye dentro de la nueva

L

$\mathcal{L}$ ? ¿Deberíamos, por lo tanto, estar definiendo un lagrangiano conocido?

L^{'}

$\mathcal{L}'$ definido como:

L^{'} = (1 + d \partial_{m} (d X^{m})) L (ϕ^{'}, \partial_{m}^{'} ϕ^{'}, X^{'})

$\mathcal{L}'=(1+d \partial_\mu(\delta x^\mu))\mathcal{L}(\phi',\partial'_\mu \phi',x')$ y ¿se ocupará esto de todos esos casos?

hijo de saturno

La razón de la segunda corriente es porque "

ϵ

$\epsilon$ es arbitrario". Es lo habitual en el que establecemos la cosa proporcional a una variación dentro de la integral para que sea cero.

prahar

@childofsaturn - eso solo funciona si "

ϵ

$\epsilon$ es una función arbitraria". Aquí, parece ser una constante arbitraria, que ciertamente no es lo suficientemente buena.

Espaguetificación cuántica

@childofsaturn Estoy de acuerdo con Prahar. Por lo que puedo decir

ϵ

$\epsilon$ tiene que ser constante.

hijo de saturno

@Prahar

ϵ

$\epsilon$ se promueve a una función dependiente del espacio-tiempo al derivar la corriente de Noether (el truco habitual)

prahar

@childofsaturn: sé de lo que está hablando, pero esa derivación no es la que se sigue aquí, ni en (1) ni en (2).

Respuestas (1)

¿Corriente de Noether en QFT con variaciones dependientes de la posición?

En (1) estás olvidando la transformación de $d^dx$ ( $d$ es la dimensión del espacio-tiempo). Bajo $x^\mu \to ( 1 + \delta \lambda ) x^\mu$ , tenemos $d^dx {\cal L} \to d^d x ( 1 + d \delta \lambda) ( {\cal L} + \delta \lambda x^\mu \partial_\mu {\cal L} = d^d x [ {\cal L} + \delta \lambda \partial_\mu ( x^\mu {\cal L} ) ]$ .
@Prahar Ok, pensé que tenía algo que ver con esto. Supongo que esto significa que la contribución $(1+d\delta \lambda)$ se incluye dentro de la nueva $\mathcal{L}$ ? ¿Deberíamos, por lo tanto, estar definiendo un lagrangiano conocido? $\mathcal{L}'$ definido como: $L^{'} = (1 + d \partial_{m} (d X^{m})) L (ϕ^{'}, \partial_{m}^{'} ϕ^{'}, X^{'})$ $\mathcal{L}'=(1+d \partial_\mu(\delta x^\mu))\mathcal{L}(\phi',\partial'_\mu \phi',x')$ y ¿se ocupará esto de todos esos casos?
La razón de la segunda corriente es porque " $\epsilon$ es arbitrario". Es lo habitual en el que establecemos la cosa proporcional a una variación dentro de la integral para que sea cero.
@childofsaturn - eso solo funciona si " $\epsilon$ es una función arbitraria". Aquí, parece ser una constante arbitraria, que ciertamente no es lo suficientemente buena.
@childofsaturn Estoy de acuerdo con Prahar. Por lo que puedo decir $\epsilon$ tiene que ser constante.
@Prahar $\epsilon$ se promueve a una función dependiente del espacio-tiempo al derivar la corriente de Noether (el truco habitual)
@childofsaturn: sé de lo que está hablando, pero esa derivación no es la que se sigue aquí, ni en (1) ni en (2).

qmecanico · Answer 1

Peskin y Schroeder (1) solo están considerando situaciones con transformaciones puramente verticales, por lo que la transformación de dilatación del espacio-tiempo horizontal de OP no se aplica . [Para ver la terminología, consulte, por ejemplo, mi respuesta de Phys.SE aquí .] Consulte también esta publicación relacionada de Phys.SE.
Fórmula de Goldstein (2) para la corriente desnuda de Noether $j^{\mu}$ se mantiene para transformaciones horizontales y verticales combinadas. La corriente completa de Noether $J^{\mu}=j^{\mu}- k^{\mu}$ tiene un posible término de mejora $k^{\mu}$ en el caso de una cuasi-simetría .
OP tiene razón. La demostración de (13.147) a (13.148) es defectuosa/insuficiente tal como está escrita en Goldstein. La ley de conservación de Noether (13.148) es, por supuesto, correcta, pero la demostración del primer teorema de Noether en Goldstein está incompleta.

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prahar

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Respuestas (1)

qmecanico

¿Importa un factor constante en la definición de la corriente de Noether?

¿El teorema de Noether también da lugar a cantidades conservadas en el espacio?

Traslaciones y teorema de Noether

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