Confusión sobre el teorema de Noether

En mi clase de teoría de campos, recientemente derivamos el teorema de Noether: consideramos una transformación infinitesimal$\phi \to \phi + \epsilon \,\delta\phi$de nuestro campo que preserva la acción, es decir$\delta S = 0$. Esta última condición es supuestamente equivalente a$\delta \mathcal{L}$siendo una divergencia, es decir$\delta \mathcal{L} = \epsilon\,\partial_\mu I^\mu$. Entonces puedes expandir

$$\begin{align} \delta \mathcal{L} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \epsilon \, \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \epsilon \partial_\mu(\delta\phi) \\ &= \left( - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\right) \epsilon \, \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi\right) \epsilon \end{align}$$

El primer término desaparece por las ecuaciones. de movimiento y así obtenemos

$$\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu\right) = 0$$ es decir$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu$es una corriente conservada.

Dos cosas me confunden aquí:

No usamos que se supone que la transformación es una simetría del sistema (es decir$\delta S = 0$). En una configuración de partículas puntuales (que es un campo que solo depende del tiempo) podemos tener$L = T - V$con$\partial V / \partial q \neq 0$, pero podemos mirar una traducción$q \to q + \epsilon$que nos da

$$L \to L + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left( - t \frac{\partial V}{\partial q} \right)$$ entonces$L$solo se cambia hasta una "divergencia" y la cantidad conservada resultante es$p + t \frac{\partial V}{\partial q}$, que de hecho se conserva, aunque nuestro sistema no era homogéneo en el espacio.

La otra fuente de confusión (que supongo que está relacionada con la primera) es este argumento de que$\delta S = 0$es equivalente a$\delta \mathcal{L} = \epsilon \partial_\mu I^\mu$. En$\mathbb{R}^n$, cada función escalar se puede escribir como una divergencia, por lo que no parece cuadrar. Es$I^\mu$tal vez se supone que es una función de los campos solamente?