Comparación entre formulaciones del teorema de Noether

Resulta más fácil comparar ambas versiones si se utilizan los cambios funcionales$\bar{\delta}\phi(x):=\phi'(x)-\phi(x)=\phi(x-\delta x)+\delta\phi(x-\delta x)-\phi(x)=-\delta x^\mu\partial_\mu\phi(x)+\delta\phi(x)$. Es precisamente en términos de estos cambios funcionales que se escribe la primera versión del teorema de Noether. La variación en la segunda versión es

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\left(\partial_\mu(\delta x^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\bar{\delta}\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu\bar{\delta}\phi\right),$$ como se puede verificar rápidamente con la fórmula en la pregunta usando la relación entre$\delta$y$\bar{\delta}$(Todo esto se encuentra, por ejemplo, en "Field Theory: A Modern Primer" de Ramond).

Como primera observación, nótese que el principio de acción estacionaria sigue siendo válido incluso cuando se incluyen transformaciones horizontales, siempre que éstas desaparezcan en$\partial\Omega$. De hecho, en la ecuación anterior estas transformaciones solo aparecen a través de la derivada total$\partial_\mu(\delta x^\mu\mathcal{L})$. Además, en este caso$\delta=\bar{\delta}$en$\partial\Omega$para que no haya ambigüedad sobre si se debe pedir$\bar{\delta}\phi|_{\partial\Omega}=0$o$\delta\phi|_{\partial\Omega}=0$.

Como segunda observación, ahora se puede incluir la posibilidad de que la acción varíe a través de términos de frontera. Es decir, el teorema ahora es así. Considere variaciones$\delta x^\mu=\epsilon X^\mu$y$\bar{\delta}\phi=\epsilon G\phi$dónde$G$es un operador diferencial (a diferencia de$\mathcal{F}$en el enunciado de la pregunta anterior, que en general era una matriz). entonces tenemos

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\left(\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi\right)+\int_\Omega d^Dx\partial_\mu\epsilon\left(X^\mu\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ Ahora, suponga que cada vez que$\epsilon$es constante tenemos$\delta S_\Omega(\phi)=\epsilon\int_\Omega d^Dx\partial_\mu F^\mu$. Entonces $$\partial_\mu F^\mu=\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi.$$ (Comentario adicional: observe que los dos últimos términos de esta ecuación son simplemente$\bar{\delta}\mathcal{L}$de la primera versión del teorema de Noether. Por lo tanto, la inclusión de cambios horizontales ha modificado el término de frontera. Diremos más sobre esto al final.) Concluimos que bajo condiciones arbitrarias$\epsilon$ $$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\partial_\mu F^\mu+\int_\Omega d^Dx\partial_\mu\epsilon\left(X^\mu\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ Para concluir, limitémonos a$\epsilon$desapareciendo en el origen. Entonces podemos integrar por partes y obtener $$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\partial_\mu \left(F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ El argumento ahora se termina restringiendo a$\phi$en concha De hecho, en este caso la variación tiene que desaparecer para todos$\epsilon$desapareciendo en el límite. Como comentamos anteriormente, esto no se ve afectado por la presencia de variaciones horizontales. Entonces por el teorema fundamental del cálculo de variaciones tenemos$\partial_\mu j^\mu=0$, donde, explícitamente, $$j^\mu=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi.$$

Como comentario final, comentemos si los cambios horizontales son necesarios o no. Bueno, definitivamente la segunda versión, en nuestra versión actual donde hemos permitido términos de límites, es al menos tan poderosa como la primera. El primero se recupera de hecho estableciendo$X^\mu=0$. En particular, el tensor de energía-momento se puede recuperar estableciendo$X^\mu=0$y$G=-\partial_\nu$, como en la primera versión, o configurando$X^\mu=\delta^\mu_\nu$y$G=-\partial_\nu$, como en la perspectiva de la segunda versión. Quizás lo más sorprendente es que resulta que la primera versión es tan poderosa como la segunda. De hecho, suponga que se cumplen las condiciones para el segundo. en especial tenemos

$$\partial_\mu F^\mu=\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi,$$ para algunos$F^\mu$. Luego define$\tilde{F}^\mu:=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}$. entonces tenemos $$\partial_\mu \tilde{F}^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi,$$ Además, tenemos $$j^\mu=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi=\tilde{F}^\mu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi.$$ Por lo tanto, podríamos haber recuperado la misma corriente de Noether si establecimos$X^\mu=0$. Concluimos que las variaciones horizontales no son necesarias para obtener corrientes de Noether siempre que estemos dispuestos a tener variaciones de la acción por términos de contorno. Por otro lado, aunque no tengo ningún ejemplo en mente en este momento, presumiblemente uno no puede en general ocultar cualquier variación de frontera como una variación de espacio (configuración$X^\mu=-F^\mu/\mathcal{L}$parece algo raro de hacer en general.

Para resumir:

Considere una variación infinitesimal$\phi\mapsto\phi'=\phi+\epsilon G\phi$. Decimos que esta es una simetría infinitesimal de nuestro sistema si para constante$\epsilon$tenemos eso

$$\delta S_\Omega(\phi):=S_\Omega(\phi')-S_\Omega(\phi)=\epsilon\int_\Omega\partial_\mu F^\mu$$ para algunos$F^\mu$. Es importante señalar que en general$F^\mu$dependerá de$\phi$y esto debe ser cierto para cualquier$\phi$independientemente de si es on-shell o no. La primera afirmación no trivial es que un$F^\mu$satisface la condición anterior si y sólo si $$\partial_\mu F^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi.$$ (Dejamos como comentario adicional interesante que cada vez que la transformación$\phi\mapsto\phi'$proviene de una transformación horizontal$x\mapsto x'=x+\epsilon X^\mu$, por lo general se puede tomar$F^\mu=-X^\mu\mathcal{L}$. Pero ese es todo el papel que juegan las variaciones horizontales.)

Ahora, suponga que tenemos una simetría infinitesimal como la anterior. Para cualquier$F^\mu$que es testigo de eso$\phi\mapsto\phi'$es una simetría, la corriente

$$j^\mu=F^\mu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi$$ se conserva

Finalmente, generalmente es una buena idea calcular esta corriente calculando$\delta S_\Omega(\phi):=S_\Omega(\phi')-S_\Omega(\phi)$para una variación arbitraria$\epsilon$. Uno puede leer de$F^\mu$(y mientras tanto verifique si esto es realmente una simetría) y$j^\mu$de la fórmula

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int d^D x\epsilon\partial_\mu F^\mu+\int_\Omega d^D x\partial_\mu\epsilon (F^\mu-j^\mu).$$