Campos interactivos en QFT

Question

Campos interactivos en QFT

Física
interacciones
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

estudiante cuántico

Estoy tratando de trabajar con Peskin y Schröder y estoy un poco atascado en el Capítulo 4 [sección 4.2 p. 83 por debajo de la ecuación. (4.13)], cuando trata por primera vez los campos que interactúan. El tema es la interacción cuartica en la Teoría de Klein-Gordon. Ellos afirman que:

"En cualquier momento fijo, por supuesto, podemos expandir el campo (en la teoría de interacción) como antes (en la teoría libre) en términos de operadores de escalera".

No veo por qué esto debería ser posible en general. Su argumento a favor de los operadores de escalera y la expansión de las ondas planas en el caso de la teoría libre fue que a partir de la ecuación de Klein-Gordon obtenemos modos de Fourier que satisfacen independientemente las ecuaciones del oscilador armónico. Sin embargo, por lo que puedo ver, una vez que agrego un término interactivo, ya no obtengo estas ecuaciones.

Respuestas (1)

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AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Siempre eres libre de definir

\begin{matrix} (1) & a_{k} \equiv \int d^{3} X {mi}^{i k X} (ω_{k} ϕ (X) + i π (X)) \end{matrix}

$a_{\boldsymbol k}\equiv \int\mathrm d^3 x\ \mathrm e^{ikx}(\omega_{\boldsymbol k}\phi(x)+i\pi(x)) \tag{1}$ dónde

π = \dot{ϕ} (x)

$\pi=\dot\phi(x)$ . Si toma la derivada temporal de esta definición, obtiene

\begin{matrix} (2) & {\dot{a}}_{k} = \int d^{3} X {mi}^{i k X} (\partial^{2} + {metro}^{2}) ϕ (X) \end{matrix}

$\dot a_{\boldsymbol k}= \int\mathrm d^3 x\ \mathrm e^{ikx}(\partial^2+m^2)\phi(x) \tag{2}$ que es distinto de cero para un campo interactivo. Por lo tanto,

a = a (t)

$a=a(t)$ , dónde

t

$t$ es el intervalo de tiempo que eligió en

(1)

$(1)$ ; En otras palabras, nuestra definición de

a

$a$ no es en general independiente del intervalo de tiempo, por lo que

a

$a$ depende paramétricamente del valor de

t

$t$ en ese trozo.

Ahora, invirtiendo la transformada de Fourier en $(1)$ , usted obtiene

ϕ (X) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} {mi}^{- i k X} a_{k} (t) + hc

$\phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3 k}{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}\ \mathrm e^{-ikx}a_{\boldsymbol k}(t)+\text{h.c.}$

que es esencialmente la declaración de P&S. Tenga en cuenta que, en general, esta declaración carece en su mayor parte de cualquier significado práctico; es solo una consecuencia trivial del teorema de inversión de la transformada de Fourier.

Muchas gracias. Entonces, según lo entiendo ahora, los operadores de escalera han cambiado. Si ahora quiero imponer las relaciones de conmutación a los operadores de escalera puedo hacerlo en todo momento de forma simultánea. ¿O tengo que elegir un momento, digamos t1, imponer las relaciones de conmutación en t1 y luego encontrar las relaciones de conmutación en todos los demás momentos actuando con el operador de evolución temporal?

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estudiante cuántico

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AccidentalFourierTransformar

estudiante cuántico

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