Pregunta sobre el fundamento de la parte I en el libro de A. Zee

Zee dice en la Sección I.3 de QFT en pocas palabras:

La integral funcional

(11) Z = ∫ D φ mi i ∫ d 4 X [ 1 2 ( ∂ φ ) 2 − V ( φ ) + j ( X ) φ ( X ) ]
es imposible de hacer excepto cuando
(12) L ( φ ) = 1 2 [ ( ∂ φ ) 2 − metro 2 φ 2 ] .

La teoría correspondiente se denomina teoría libre o de Gauss.

Esta restricción da nacimiento repentino a la ecuación de Klein-Gordon y también prácticamente permite que toda la parte I del libro continúe como está.

Entonces, dos preguntas y media:

  1. ¿Cómo puedo entender la necesidad de esta restricción? Y, ¿qué significa aquí "imposible de hacer"?
  2. A medida que se desarrolla la parte I, Zee explica que lo anterior no está "destinado" tanto a ser resuelto, sino que es un funcional generador. Entonces, ¿por qué es necesaria la restricción en primer lugar?
¡ Estaba a punto de preguntarte qué debería significar "imposible" aquí! No creo que signifique nada con un sentido riguroso. La noción general de la integral de trayectoria lorentziana no está matemáticamente bien definida como integral, ya que no se basa en una medida verdadera. Puede definirse como una noción de "límite", por ejemplo, basándose en herramientas matemáticas bien definidas (integral de trayectoria euclidiana, por ejemplo). Tal vez el autor querría decir que estos procedimientos no funcionan si la acción no es la estándar de KG. Pero no creo que sea cierto en general.
Veo su corrección, imposiblemente "hacer", es decir, ¿calcular explícitamente? De hecho, los otros casos generalmente se manejan de manera pertubativa.
@Qmechanic Gracias por las ediciones. Elevaré mi estándar para mis futuras preguntas :)

Respuestas (1)

En primer lugar, permítanme decir lo siguiente: si alguien (¿quizás usted, @V.Moretti?) pudiera proporcionar una perspectiva más matemática sobre esta pregunta, creo que sería un complemento valioso para esta respuesta, que puede caracterizarse como pragmático (o manual, ¡dependiendo de a quién le preguntes!), en lugar de profundo.

Dicho esto, ahora responderé a ambas subpreguntas:

  1. Creo que no hay nada demasiado profundo detrás de esta declaración de Zee. En particular, no creo que tenga la intención de hacer una afirmación rigurosa sobre la bien definida definición de la integral de trayectoria, y la forma en que esto puede (o no) depender de la forma particular de L . Simplemente quiere decir que la teoría del campo libre nos permite - barrer todos los problemas matemáticos serios involucrados en la definición de la medida de la integral de trayectoria, etc., etc. debajo de la alfombra - realizar explícitamente esta integración, ya que todo se reduce a nada más que (un generalizado versión de) la integral gaussiana estándar

    ∫ R mi − X 2 d X
    En cualquier modelo serio de las interacciones entre partículas fundamentales tenemos que (como era de esperar) considerar términos de interacción . Estos estropean la simplicidad de la integral, una vez más, ignorando muchos problemas matemáticos, y generalmente se atacan mediante una expansión perturbativa, en lugar de resolver exactamente.

  2. Primero, considerar una teoría de campo libre es físicamente instructivo, porque generalmente nos expandimos alrededor de la teoría de campo libre (en el sentido de que consideramos interacciones pequeñas/débiles). Además, el tratamiento matemático de las teorías que interactúan es bastante similar, por lo que el Lagrangiano de campo libre también puede considerarse como un excelente ejercicio de calentamiento en este aspecto, lo que permite al estudiante principiante adquirir cierta intuición y familiaridad con las técnicas comunes.

Supongo que el problema de la medida es causado por el posible 0 y la longitud de los segmentos con valor negativo (cuadrado) ...? ¿Dónde puedo leer sobre esto?
Pregunta sobre el fundamento de la parte I en el libro de A. Zee
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