Cálculo del potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas a partir de un campo E constante

Question

Cálculo del potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas a partir de un campo E constante

amagicalfishy

Estoy teniendo muchos problemas con este problema. Siento que no debería serlo, pero lo soy.

Un campo eléctrico uniforme, $\vec{E} = E_0\hat{x}$ . ¿Cuál es el potencial, expresado en coordenadas cilíndricas, $V(s,\phi,z)$ ?

Ayer hice una pregunta relacionada con esto y obtuve una respuesta sólida, pero cuando realizo las cosas, todavía no tiene sentido físicamente (aunque, después de estudiar un poco, ahora entiendo el Teorema del Gradiente).

Lo sabemos:

\vec{mi} = {mi}_{0} \hat{X} = - \nabla V ⟹ - \int_{C [X_{0}, X]} {mi}_{0} \hat{X} \cdot d yo = V (X) - V (X_{0})

$\vec{E} = E_0\hat{x} = -\nabla V \implies -\int_{C[x_0,x]} E_0\hat{x}\cdot dl = V(x) - V(x_0)$ Como el campo eléctrico solo tiene cantidad en el

\hat{x}

$\hat{x}$ dirección, el producto escalar dentro de la integral resulta ser

E_{0} d x

$E_0~dx$ , dándonos:

{mi}_{0} (X_{0} - X) = V (X) - V (X_{0})

$E_0(x_0 - x) = V(x) - V(x_0)$ Ahora, esto tiene sentido. Dado que el campo eléctrico es conservativo, el camino que tomemos no debe depender de ninguna otra variable sino

x

$x$ . Si nos movemos en algunos

y

$y$ dirección y algo

z

$z$ dirección, habrá cero cambio en el potencial.

Dejar $V(x_0) = 0$ ser nuestro punto de referencia, por lo que:

V (X) = {mi}_{0} (X_{0} - X)

$V(x) = E_0(x_0 - x)$ Hasta ahora (creo) todo esto parece estar bien y elegante. La razón por la que no configuro

E_{0} x_{0}

$E_0x_0$ a cero es porque no hay

1 / x

$1/x$ término; de lo contrario, sería capaz de hacer el punto de referencia en

x = \infty

$x=\infty$ , y las cosas se cancelarían muy bien.

Ahora, trato de convertir a coordenadas cilíndricas. Sabemos:

r = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{X^{2}} = X θ = {broncearse}^{- 1} \frac{y}{X} = 0 z = 0

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2} = x \\ \theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} = 0 \\ z = 0$

Entonces $V(r) = E_0(r_0 - r)$

Pero... esto no tiene ningún sentido. Con esta función potencial, moviendo $r$ -distancia en el $-x$ dirección le dará el mismo potencial que en movimiento $r$ -distancia en positivo $x$ dirección (lo que le dará el mismo potencial que moverse $r$ -distancia en el $y$ dirección, incluso, ya que $r$ es sólo una distancia radial de, digamos, el $z$ -eje.

Estoy haciendo algo terriblemente mal y no tengo ni idea de qué es, jaja.

gurú

si establece y, an z como cero, eso significa que solo está mirando puntos en el eje x.

amagicalfishy

@guru Por un lado, veo: Todo correcto hasta que llego a

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ porque estoy configurando

y

$y$ y

z

$z$ a cero. Pero... ¿no son cero cuando se trata del campo E?

ticster

@AmagicalFishy Dices que quieres trabajar en coordenadas cilíndricas pero luego estás usando la definición de

r

$r$ que se relaciona con coordenadas esféricas. En coordenadas cilíndricas

r

$r$ (o

ρ

$\rho$ como suele denotarse) es simplemente

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2}$ . Eso debería ayudar.

ticster

@AmagicalFishy Estás confundiendo las cosas cuando dices "

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ porque estoy configurando y y z a cero". El hecho de que su sistema físico tenga algo de simetría no significa que su sistema de coordenadas cambie mágicamente.

y

$y$ y

z

$z$ no son

0

$0$ solo porque no te preocupas por ellos.

Respuestas (3)

Cálculo del potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas a partir de un campo E constante

si establece y, an z como cero, eso significa que solo está mirando puntos en el eje x.
@guru Por un lado, veo: Todo correcto hasta que llego a $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ porque estoy configurando $y$ y $z$ a cero. Pero... ¿no son cero cuando se trata del campo E?
@AmagicalFishy Dices que quieres trabajar en coordenadas cilíndricas pero luego estás usando la definición de $r$ que se relaciona con coordenadas esféricas. En coordenadas cilíndricas $r$ (o $\rho$ como suele denotarse) es simplemente $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Eso debería ayudar.
@AmagicalFishy Estás confundiendo las cosas cuando dices " $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ porque estoy configurando y y z a cero". El hecho de que su sistema físico tenga algo de simetría no significa que su sistema de coordenadas cambie mágicamente. $y$ y $z$ no son $0$ solo porque no te preocupas por ellos.

encimera · Answer 1

Supongamos que ya conoce el potencial en coordenadas cartesianas:

$V(x,y,z)$ con $\vec E(x,y,z)=-\nabla V(x,y,z)$ .

Ahora solo tienes que sustituir x,y,z con tus coordenadas cilíndricas:

$x=r cos(\alpha)$

$y=r sin(\alpha)$

$z=z$

Lo que lleva a $V'(r,\alpha,z)=V(r cos(\alpha), rsin(\alpha), z)$ con $V'$ siendo el potencial en coordenadas cilíndricas.

Si quieres conseguir el $\vec E$ -Campo en coordenadas de cilindro solo tienes que usar la versión cilíndrica del degradado:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Espero que esta respuesta te pueda ayudar.

¡Mis mejores deseos!

No está pidiendo el campo E, todo lo que quiere es el potencial en coordenadas cilíndricas. La respuesta en realidad es mirarlo directamente a la cara.

ticster · Answer 2

Estás tan cerca de la respuesta que no estoy seguro de cómo empujarte sin simplemente darte la respuesta. Lo intentaré de todos modos. Hay algunos errores conceptuales preocupantes que ha cometido en una derivación sencilla.

Para principiantes :

La razón por la que no configuro $E_0 x_0$ a cero es porque no hay $1/x$ término; de lo contrario, sería capaz de hacer el punto de referencia en $x=\infty$ , y las cosas se cancelarían muy bien.

Este argumento no tiene sentido. Lo único que puedes configurar es el punto. $\vec{r}$ en el cual $V(\vec{r})$ es $0$ , que en su caso, como correctamente señala, se reduce a una elección de $x_0$ . no puedes configurar $E_0 x_0$ a cualquier cosa, es solo un producto de números, por lo que también podría elegir $x_0 = 0$ para simplificar las cosas. Su potencial, en coordenadas cartesianas, se convierte en:

V (X, y, z) = V (X) = - {mi}_{0} X

$V(x,y,z) = V(x) = - E_0 x$

Ahora quiere convertir esto a coordenadas cilíndricas por alguna razón. En este punto, hiciste las cosas al revés. Examinaste las fórmulas para convertir coordenadas cilíndricas en coordenadas cartesianas, en lugar de lo contrario. Aunque este paso es inútil, vale la pena señalar que lo hiciste completamente mal en 2 niveles:

Primero, la coordenada radial en coordenadas cilíndricas es $s = \sqrt{x^2 + y^2}$ . No hay $z$ término involucrado.

En segundo lugar, el hecho de que su sistema físico tenga cierta simetría no significa que su sistema de coordenadas cambie mágicamente. $y$ y $z$ no son $0$ solo porque no te preocupas por ellos. Puedes decidir trabajar en la línea $y = z = 0$ , pero eso es diferente de lo que hiciste. Parece estar operando bajo la impresión de que en todas las coordenadas, incluso para no cero $y$ y $z$ , tenemos $y = z = 0$ , lo cual es una tontería.

Finalmente, echemos un vistazo a las transformaciones que necesita , aquellas que transforman las coordenadas cartesianas en cilíndricas. De hecho, debido a que su potencial sólo depende de $x$ , solo necesitamos una fórmula:

X = s porque ϕ

$x = s \cos \phi$

No escribiré la respuesta por ti, pero ahora tienes todo lo que necesitas saber. Tienes una expresión para $V$ en coordenadas cartesianas, y la fórmula que transforma las coordenadas cartesianas en cilíndricas. Espero no tener que deletrearlo más que eso.

jim haddocc · Answer 3

Asumiste que $y=0$ y $z=0$ cuando hiciste los siguientes pasos,

r = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{X^{2}} = X

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2} = x$ Como resultado, ahora está viendo todo el conjunto de puntos que tienen coordenadas de forma

(x, 0, 0)

$(x,0,0)$ es decir, el eje x. Por lo tanto, no puede encontrar el potencial en ningún otro punto, excepto en los del eje x, utilizando su fórmula potencial en coordenadas cilíndricas.

Si desea encontrar el potencial general en coordenadas cilíndricas, debe usar la siguiente transformación:

X = r porque (ϕ)

$x=r\cos(\phi)$

⟹ V (r, ϕ, z) = {mi}_{0} (X_{0} - r porque (ϕ))

$\Longrightarrow V(r,\phi,z) = E_0(x_0 - r\cos(\phi))$ ¿Cuál es la forma correcta del potencial en coordenadas cilíndricas?

Cálculo del potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas a partir de un campo E constante

amagicalfishy

gurú

amagicalfishy

ticster

ticster

Respuestas (3)

encimera

ticster

ticster

jim haddocc

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

Derivación del voltaje del campo eléctrico

Noción electrostática de voltaje tal como se aplica a los circuitos.

¿Dónde está el error en este cálculo de flujo? [cerrado]

Campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada con una cavidad [cerrado]

¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

Qué simetría para qué función de distancia

Campo eléctrico en el límite de una distribución de carga continua

Confusión sobre el componente de volumen en la Ley de Gauss para un cilindro