Derivada exterior de la electrostática de un agujero de gusano.

Estoy trabajando en una variedad difeomorfa a R × S 2 con métrica

gramo = d r 2 + F ( r ) 2 ( d θ + pecado 2 ⁡ θ   d ϕ )
dónde F ( r ) siempre es positivo. Ahora, postulo un campo eléctrico mi = mi ( r ) d r con mi ( r ) una función a determinar. Las ecuaciones electrostáticas de Maxwell son las siguientes.
d mi = 0 d ⋆ mi = 0

La primera ecuación se satisface automáticamente por cualquier mi ( r ) . Ahora, en este momento soy capaz de tomar el dual de Hodge de una forma si puedo expresarlo en una base ortonormal. Así que me muevo a una nueva base:

d X 1 = d r ,     d X 2 = F ( r ) d θ ,     d X 3 = F ( r ) pecado ⁡ ( θ ) d ϕ
y toma el doble de Hodge:

⋆ mi = ⋆ ( mi ( r ) d X 1 ) = mi ( r )   d X 2 ∧ d X 3 .

Mis problemas comienzan aquí. Si vuelvo al marco original para tomar la derivada exterior, obtengo una ecuación. ¡Si tomo la derivada en este marco, obtengo una diferente! Aquí están las dos derivaciones.

Volviendo al marco antiguo:

d ⋆ mi = d ( mi ( r ) F ( r ) 2 pecado ⁡ θ   d θ ∧ d ϕ ) = ∂ r ( mi ( r ) F ( r ) 2 ) pecado ⁡ θ   d r ∧ d θ ∧ d ϕ = 0 ↔ ∂ r ( mi ( r ) F ( r ) 2 ) = 0

Permanecer en el marco ortonormal:

d ⋆ mi = d ( mi ( r )   d X 2 ∧ d X 3 ) = ∂ 1 mi ( r )   d X 1 ∧ d X 2 ∧ d X 3 = 0 ↔ ∂ 1 mi ( r ) = 0

Ahora, a mi entender, estas son ecuaciones diferentes, ya que ∂ r = ∂ 1 según mi cambio de base. Algo debe estar mal, pero se me escapa en este momento. Lo más probable es que se trate de cómo tomo la derivada exterior, pero parece que sigo la misma regla en ambas coordenadas.

Probablemente estoy cometiendo un error tonto, así que gracias de antemano por la paciencia.

Respuestas (1)

El error es escribir la base ortonormal como diferenciales. Tenga en cuenta que

d ( d X 2 ) = d ( F ( r ) d θ ) = F ′ ( r ) d r ∧ d θ
que no es necesariamente cero. Use un nombre diferente para la base y todo quedará claro:
mi 1 = d r ,     mi 2 = F ( r ) d θ ,     mi 3 = F ( r ) pecado ⁡ ( θ ) d ϕ
de modo que
d mi 1 = 0 d mi 2 = F ′ F mi 1 ∧ mi 2 d mi 3 = F ′ F mi 1 ∧ mi 3 + cuna ⁡ θ F mi 2 ∧ mi 3
Entonces en base ortonormal:
d ⋆ mi = d ( mi ( r ) mi 2 ∧ mi 3 ) = ∂ 1 mi ( r ) mi 1 ∧ mi 2 ∧ mi 3 + mi ( r ) d mi 2 ∧ mi 3 − mi ( r ) mi 2 ∧ d mi 3 = ∂ 1 mi ( r ) mi 1 ∧ mi 2 ∧ mi 3 + mi ( r ) F ′ F mi 1 ∧ mi 2 ∧ mi 3 − mi ( r ) F ′ F mi 2 ∧ mi 1 ∧ mi 3 = ( ∂ r mi ( r ) + 2 mi ( r ) F ′ F ) mi 1 ∧ mi 2 ∧ mi 3 = 1 F 2 ∂ r ( F 2 mi ( r ) ) mi 1 ∧ mi 2 ∧ mi 3 ↔ ∂ r ( F 2 mi ( r ) ) = 0
que es la misma ecuación que obtuviste con el otro método.

¡Perfecto gracias! Un seguimiento rápido. ¿Diría que, en general, es más fácil tomar duales de Hodge en bases ortonormales, pero más fácil tomar derivadas exteriores en bases coordinadas?
¡De nada! Yo diría que eso es marginalmente cierto. La fórmula dual de Hodge es más fácil de recordar en una base ortonormal y el hecho de que d 2 = 0 simplifica las derivadas en una base de coordenadas. Pero a menudo son otras consideraciones las que le indican si debe usar uno u otro, y puede ser confuso cambiar de un lado a otro. En este caso, habría hecho como tú, hodge dual en la base ortonormal y luego volvería a la base de coordenadas
Por cierto, ¿recibiste la recompensa?
Derivada exterior de la electrostática de un agujero de gusano.
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