Descripción de esfera cargada con función de Heaviside en coordenadas cilíndricas

Necesito describir la densidad de carga de la esfera con carga uniforme (radio R, carga total Q, posición del centro (0,0,0)) con la función delta de Dirac y la función de paso de Heaviside. La parte difícil es describir esto en coordenadas cilíndricas.

Bueno, esto es fácil en coordenadas esféricas, el resultado es:

$$\rho(r, \theta, \phi) = \frac{3 \cdot Q}{4 \cdot PI \cdot R^3} \cdot H(R-r)$$

Es obvio que lo único que cambiará en coordenadas cilíndricas es la función escalón de Heaviside y porque la condición es:

$$R^2 = r^2+ z^2$$

el resultado debe ser:

$$\rho(r, phi, z) = (3 \cdot Q)/(4 \cdot PI \cdot R^3) \cdot H(R^2 - r^2 - z^2)$$

Bueno, este es el resultado correcto, pero no es la forma correcta de resolver este problema. Tengo un problema con la forma en que esta función de Heaviside afecta los límites de las integrales.

Todo mi progreso en coordenadas esféricas es:

$$\rho (r, \theta, \phi) = A \cdot H(R-r)$$ $$Q = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\infty} \rho \cdot r^2 \sin \theta~dr d\theta d\phi = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta \int_0^{\infty} A \cdot H(R-r) \cdot r^2~dr = A \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta \int_0^{R} r^2~dr = A \frac{4 \cdot \pi \cdot R^3}{3} \Rightarrow A = \frac{3Q}{4 \pi R^3}$$ $$\rho (r, \theta, \phi) = A \cdot H(R-r) = \frac{3Q}{4 \pi R^3} \cdot H(R-r)$$

En cilíndrico hasta donde yo sé resolver:

$$\rho (r, \phi, z) = A \cdot H(R^2-r^2-z^2)$$ $$Q = \int_0^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{\infty} \rho \cdot r~dr dz d\phi = \int_0^{2\pi} d\phi \int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{\infty} A \cdot H(R^2-r^2-z^2) \cdot r~dr dz = 2 \pi A \int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{\infty} r \cdot H(R^2-r^2-z^2)~dr dz$$

¿Cómo continuar?