Campo eléctrico a una distancia zzz por encima del centro de una espira circular. El camino difícil [cerrado]

Problema 2.5: Encuentra el campo eléctrico a una distancia$z$sobre el centro de una espira circular de radio$r$que lleva una carga lineal uniforme$\lambda$.

Este problema se menciona aquí (con solución): http://teacher.pas.rochester.edu/PHY217/LectureNotes/Chapter2/LectureNotesChapter2.html

Pero se soluciona con un truco. El truco es: bueno, sabemos que hay simetría, así que tomemos la magnitud y no usemos los vectores. El problema que tengo es que no puedo resolverlo sin usar el truco y agradecería la ayuda de alguien para resolver el problema sin el atajo, usando los vectores. Cuando lo hago, el componente r no se cancela.

Usando coordenadas polares aquí está la configuración:

$$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda}{\rho^2} ~ \hat{\rho} ~ r d \theta$$

$$\hat{\rho} = \frac{z \hat{k} + r \hat{r}}{\sqrt{z^2 + r^2}}$$

$$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \frac{r z \hat{z} + r^2 \hat{r} }{(z^2 + r^2)^{3/2}} ~ d \theta$$

$$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \frac{r z \hat{z} }{(z^2 + r^2)^{3/2}} ~ d \theta + \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \frac{r^2 \hat{r} }{(z^2 + r^2)^{3/2}} ~ d \theta$$

Si ahora evalúo el$z$componente obtengo la respuesta correcta. Cuando evalúo el$r$componente, que se muestra debajo del$r$no cancela como debe. ¿por qué no?

$$\frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r^2 2 \pi }{(z^2 + r^2)^{3/2}} - \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r^2 0 }{(z^2 + r^2)^{3/2}}$$

$$= \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r^2 2 \pi }{(z^2 + r^2)^{3/2}} \hat{r}$$