Grupo de renormalización en mecánica estadística: (1) reescalado de parámetros y (2) cálculo de la energía libre

Lo siento por el retraso en la respuesta. Ya que respondimos la pregunta 1 en otro hilo, solo me centraré en la pregunta 2 aquí. Mantendré esto bastante general, en lugar de centrarme en el modelo particular de la pregunta en cuestión, pero asumiré que el método de granularidad gruesa que nos interesa es integrar grados de libertad con momentos mayores que algún punto de corte. es decir, si nuestros grados de libertad son$m(\mathbf{q})$, obtenemos grano grueso integrando todos los modos con $|\mathbf{q}| > b\Lambda$, por $b < 1$y$\Lambda$la longitud de onda máxima.

Dividiré esta respuesta en una versión corta y una versión larga.

La versión corta es:

Normalmente, uno no intenta calcular el funcional de generación cumulante (CGF) para teorías de campo no gaussianas (al menos, no que yo haya visto). En cambio, una vez que se tiene la teoría de campo "renormalizada" (es decir, se obtiene la acción granular y reescalada conservando solo las interacciones relevantes), se pueden identificar las reglas del diagrama de Feynman y usarlas para mejorar sistemáticamente las estimaciones de campo medio de la estadística. momentos es decir, para calcular correcciones de bucle a las aproximaciones de nivel de árbol (gaussianas). Dado que esto normalmente se hace como una expansión de serie perturbativa para cada momento estadístico, generalmente no hay$F[J]$ para escribir, ya que básicamente solo se escribiría como una serie

$$F'[J'] = \int d\mathbf{q}'~ J'(\mathbf{q}') \cdot \kappa_1(\mathbf{q}') + \int d\mathbf{q}_1' d\mathbf{q}_2'~ J'(\mathbf{q}_1')^T \kappa_2(\mathbf{q}_1',\mathbf{q}_2') J'(\mathbf{q}_2') + \dots,$$ donde $\kappa_1(\mathbf{q}')$ y $\kappa_2(\mathbf{q}_1',\mathbf{q}_2')$son los cumulantes de primer y segundo orden, respectivamente (la media y la covarianza) que se calcularían usando diagramas de Feynman, con $\dots$indicando los cumulantes de orden superior. He usado números primos para indicar que estos son los momentos reescalados (para conectar con la notación en la respuesta más larga). Si todos los cumulantes solo se estiman hasta el nivel del árbol, entonces, en principio, esta serie debería sumar hasta $F_{\rm gaussian}$, y en principio podría tratar de organizar los términos restantes (de las correcciones de bucle) en un $F_{\rm corrections}$, pero seguiría siendo en forma de serie en $J'$y hasta cualquier orden de la aproximación de bucle hasta el que haya calculado las cosas. No conozco un método perturbativo sistemático para calcular una aproximación global a $F'[J']$. Por lo tanto, para la acción en la pregunta en particular, para calcular los momentos, normalmente calcularía las reglas del diagrama de Feynman para su acción de grano grueso $S'[m'] = \beta H'[m']$ y utilícelos para calcular los momentos estadísticos.

Dicho esto, existe un enfoque llamado " grupo de renormalización no perturbativo " que podría, en principio, utilizarse para renormalizar el CGF, aunque normalmente se centra en la transformada de Legendre del CGF, que es la acción efectiva promedio$\Gamma[M(\mathbf{q}')]$, donde$M(\mathbf{q}') \equiv \frac{\delta F'[J'(\mathbf{q}')]}{\delta J'(\mathbf{q}')}$es el campo de Legendre conjugado con el campo fuente$J'(\mathbf{q}')$. La acción efectiva promedio también contiene toda la información sobre los momentos estadísticos. Incluso en este método, sin embargo, el objetivo no suele ser calcular una aproximación para$\Gamma[M(\mathbf{q}')]$, sino más bien para calcular exponentes críticos o, a veces, las "funciones de vértice"$\Gamma^{(n)}[\mathbf{q}'_1,\dots,\mathbf{q}'_n] \equiv \frac{\delta^n \Gamma[M(\mathbf{q}')]}{\delta M(\mathbf{q}'_1) \dots \delta M(\mathbf{q}'_n)}$, generalmente solo para hasta pequeños$n$y generalmente con el fin de estimar la forma de escala de las funciones de correlación cerca de los puntos críticos. (Los momentos estadísticos se pueden obtener de las funciones de vértice). Ambos enfoques se han aplicado a la$O(N)$modelo, que es básicamente el modelo en la pregunta. Este artículo reporta algunos resultados utilizando los métodos no perturbativos, aunque es bastante técnico. La figura clave relevante para esta discusión es la Fig. 4, que traza el$\Gamma^{(2)}(p)/p^{2-\eta}$, donde$\Gamma^{(2)}(p)$se obtiene del vértice de 2 puntos$\Gamma^{(2)}[\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2] = \Gamma^{(2)}(|\mathbf{q}'_1|) \delta(\mathbf{q}'_1-\mathbf{q}'_2)$ (la función detlta se debe a la invariancia de traducción) y $p^{2-\eta}$ es el escalamiento esperado de la función como $p \rightarrow 0$. La Fig. 6 también representa la función de escalado$g(x)$ obtenido por este método, obtenido de la función de correlación de 2 puntos $G^{(2)}(p) = \Gamma^{(2)}(p)^{-1} g(p\xi)$, con $\xi$ la longitud de correlación cerca (pero no en) la criticidad.

La versión más larga es:

Todo lo que realmente quiero hacer aquí es agregar algunos detalles para respaldar un par de las declaraciones hechas anteriormente y tratar de dilucidar la relación entre el cálculo del grupo de renormalización y el funcional generador cumulante (CGF).

Para empezar, considere el CGF $F[J(\mathbf{q})]$ para el modelo de grano fino, antes de hacer cualquier grano grueso:

$$e^{F[J(\mathbf{q})]} \equiv \int \mathcal D m(\mathbf{q})~e^{-S[m(\mathbf{q})] + \int d\mathbf{q}~J(\mathbf{q}) \cdot m(\mathbf{q})},$$ donde $S[m(\mathbf{q})]$ es la acción (igual a $\beta H[m(\mathbf{q}]$en la pregunta) y las fuentes $J(\mathbf{q})$ya se han escrito explícitamente en el espacio de cantidad de movimiento. Supongamos que pudiéramos evaluar esta integral exactamente para obtener $F[J(\mathbf{q})]$. Como saben, a partir de esta cantidad podríamos obtener todos los momentos estadísticos para los grados de libertad de grano fino originales. $m(\mathbf{q})$por diferenciación funcional.

Ahora, considere la acción de grano grueso$S_b[m(\mathbf{q})]$definida por la integración de modos con$|\mathbf{q}| > b \Lambda$:

$$e^{-S_b[\mathbf{q}]} \equiv \int \mathcal D m(|\mathbf{q}| > b\Lambda)~e^{-S[m(\mathbf{q})]},$$ donde $\mathcal D m(|\mathbf{q}| > b\Lambda)$es una abreviatura para indicar que solo estamos integrando los modos de alto impulso. Tenga en cuenta que aún no he realizado el paso de cambio de escala.

Ahora, también podemos anotar el CGF$F_b[J(\mathbf{q})]$para esta acción de grano grueso:

$$e^{F_b[J(\mathbf{q})]} \equiv \int \mathcal D m(|\mathbf{q}| \leq b \Lambda)~e^{-S_b[m(\mathbf{q})] + \int d\mathbf{q}~J(\mathbf{q}) \cdot m(\mathbf{q})},$$ donde integramos sobre los modos restantes con $|\mathbf{q}| \leq b \Lambda$.

Ahora podemos preguntar: ¿cómo es$F[J(\mathbf{q})]$relacionado con$F_b[J(\mathbf{q})]$? la respuesta es que

$$F_b[J(\mathbf{q})] = F[J(|\mathbf{q}| \leq b\Lambda),J(|\mathbf{q}| > b\Lambda) = 0].$$ Es decir, el funcional generador de cumulantes de grano grueso se obtiene (en este caso) simplemente estableciendo los términos fuente $J(\mathbf{q})$a cero para todas las fuentes con momentos $|\mathbf{q}| > b \Lambda$. La importancia de esto es que si pudiera calcular el CGF completo $F[J]$puede obtener trivialmente el CGF de grano grueso.

Pero, ¿qué pasa con el CGF después de que también cambiamos la escala de los momentos y grados de libertad? es decir, si cambiamos las variables a$\mathbf{q} \rightarrow b^{-1} \mathbf{q}'$y$m(\mathbf{q}) \rightarrow z m'(\mathbf{q}')$, cuál es el CGF correspondiente,$F'[J'(\mathbf{q}')]$? Si hacemos este cambio de variables en nuestra definición de$F_b[J(\mathbf{q})]$por encima del término de acción se convertirá en la acción reescalada$S'[m'(\mathbf{q}')]$(más factores constantes del jacobiano, que alternativamente podríamos absorber en la normalización implícita). Por lo tanto, podemos centrarnos en el término fuente, que se convierte en$\int d\mathbf{q}'~b^{-d} z J(b^{-1} \mathbf{q}') \cdot m'(\mathbf{q}')$. Si queremos que nuestro CGF sean los momentos de las variables reescaladas$m'(\mathbf{q}')$, entonces esperamos que el término fuente en $F'[J'(\mathbf{q}')]$ debería parecerse $\int d\mathbf{q}'~J'(\mathbf{q}') \cdot m'(\mathbf{q}')$, lo que nos motiva a definir

$$J'(\mathbf{q}') \equiv b^{-d} z J(b^{-1} \mathbf{q}').$$ es decir, las fuentes para la acción redimensionada son solo redimensionamientos de las fuentes para la acción de granularidad gruesa. Por lo tanto, si pudiera calcular el CGF completo $F[J(\mathbf{q})]$el CGF para la teoría de grano grueso y reescalado se obtiene estableciendo los términos fuente apropiados para $0$, reescalar los términos de origen restantes y luego tomar el límite de un número infinito de iteraciones del paso de granularidad gruesa+reescalado.

Ok, entonces, ¿cuál es la conclusión de esta explicación hasta ahora? Es esto: si pudiéramos calcular el CGF completo para una teoría, no necesitaríamos volver a normalizarlo.

Entonces, ¿qué está haciendo la renormalización por nosotros aquí? Bueno, en la acción totalmente reescalada+granularidad gruesa, esperamos que si establecemos los parámetros desnudos originales de la acción en los valores apropiados (esencialmente, ajustamos la teoría a la variedad crítica), entonces, a medida que repetidamente reescalamos la granularidad gruesa+ modelo, las llamadas interacciones "irrelevantes" se reducirán a cero y las interacciones relevantes fluirán hacia un punto fijo sin escala que ha perdido la memoria de la acción inicial detallada. (Es muy importante tener en cuenta que esto es cierto solo para la teoría reescalada:si solo realizáramos los pasos de granularidad gruesa y no el cambio de escala, los términos irrelevantes no se suprimirían y, si bien aún podríamos terminar con una acción bien definida, dependerá de los detalles de la teoría de granularidad fina original e incluiría todas las interacciones generadas por granularidad gruesa, lo que impide escribir las reglas de Feynman para calcular momentos).

El resultado es que normalmente terminamos con una acción que parece mucho más simple para la cual podemos escribir las reglas de Feynman y usar métodos perturbativos para calcular los momentos estadísticos de la teoría. Por ejemplo, para el modelo en cuestión, el potencial$U[m(\mathbf{q})]$puede ser relativamente complicado, pero resulta que solo las interacciones cuadráticas y cuárticas son relevantes cerca del punto fijo gaussiano en el flujo del grupo de renormalización. Podemos escribir las reglas de Feynman para esta acción más simple e intentar calcular los momentos estadísticos (funciones de 2 puntos, etc.), tratando la interacción cuártica como una perturbación. Hasta los artefactos introducidos por las aproximaciones que hacemos para que podamos realizar el cálculo del grupo de renormalización, los resultados deberían en principio coincidir con lo que obtendríamos al calcular los momentos de la teoría de grano fino original (después de hacer las reescalas y tomar el límite de infinitos pasos de granulado grueso+reescalado).

Esta imagen general no cambia mucho si usamos el enfoque de grupo de renormalización no perturbativo que mencioné en la respuesta corta, excepto que brinda una forma alternativa de intentar calcular las funciones de correlación para la acción renormalizada.