Determine si la serie converge o diverge.

Question

Determine si la serie converge o diverge.

cálculo
factorial
fracciones
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

Prabesh

\sum_{norte = 1}^{\infty} (\frac{19}{norte!})

$\sum _{n=1}^{\infty }\:\left(\frac{19}{n!}\right)$

Sé que esta pregunta es mucho más fácil si uso la prueba de proporción, pero aún no he aprendido la prueba de proporción. La única opción que tengo es divergencia, comparación, comparación límite y prueba integral. ¿Cómo puedo probar que esta serie converge usando las pruebas limitadas?

Gracias de antemano.

usuario170039

Pista:

\frac{19}{n!} \leq \frac{n}{n!} = \frac{1}{(n - 1)!}

$\dfrac{19}{n!}\le \dfrac{n}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}$ para todos

n \geq 19

$n\ge 19$ .

Respuestas (5)

Determine si la serie converge o diverge.

Pista: $\dfrac{19}{n!}\le \dfrac{n}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}$ para todos $n\ge 19$ .

Cosrotash · Answer 1

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{19}{norte!} = 19 \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte!} = 19 (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots) = 19 (- \frac{1}{0!} + \underset{mi}{\underset{⏟}{\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots}}) = 19 (- 1 + mi)

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{19}{n!}=19\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}=19\Bigl(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dotsb\Bigr)\\= 19\Bigr(-\frac{1}{0!}+\underbrace{\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dotsb}_{e}\Bigr)=19(-1+e)$

jose carlos santos · Answer 2

Luego usa el hecho de que $(\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{2,3\}):\frac{19}{n!}\leqslant\frac{19}{n^2}$ y aplicar el criterio integral para probar que $\sum_{n=1}^\infty\frac{19}{n^2}$ converge

miguel rozenberg · Answer 3

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{19}{norte!} = 19 (1 + \sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{1}{norte!}) < 19 (1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte (norte + 1)}) =

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{19}{n!}=19\left(1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)<19\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\right)=$

= 19 (1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} (\frac{1}{norte} - \frac{1}{norte + 1})) = 19 (1 + 1) = 38.

$=19\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right)=19(1+1)=38.$ Por lo tanto, nuestra serie converge.

zhw. · Answer 4

Olvídate de la constante $19.$ Tenga en cuenta que en $n!$ tienes $n-1$ factores, cada uno de los cuales es $\ge 2.$ De este modo $n! \ge 2^{n-1} \implies 1/n! \le 1/2^{n-1}.$ Utilice la prueba de comparación.

M. Strochyk · Answer 5

Usar la desigualdad

norte! > 2^{norte}, norte ⩾ 4.

$n! > 2^n, \ n\geqslant 4.$ Entonces para

n ⩾ 4

$n\geqslant 4$

\frac{1}{norte!} < \frac{1}{2^{norte}},

$\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n},$ entonces

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{19}{norte!} = 19 \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte!} < 19 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{norte = 4}^{\infty} \frac{1}{2^{norte}}) = 19 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}) .

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{19}{n!} = 19\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!} < 19\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{2^n} \right)=19\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}\right).$

Determine si la serie converge o diverge.

Prabesh

usuario170039

Respuestas (5)

Cosrotash

jose carlos santos

zhw.

jose carlos santos

miguel rozenberg

zhw.

M. Strochyk

Problema de clase de calculo [resuelto]

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

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