Cálculo de una suma usando series de Maclaurin y productos infinitos

Si empezamos con:

$$\frac{\sin z}{z}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)\tag{1}$$ y tomando la derivada logarítmica de ambos lados obtenemos: $$-\frac{1}{z}+\cot(z) = \sum_{n\geq 1}\frac{2z}{z^2-n^2 \pi^2}\tag{2}$$ entonces, expandiendo el término general de la RHS como una serie geométrica: $$1-z\cot z = 2\sum_{n\geq 1}\sum_{k\geq 1}\frac{z^{2k}}{n^{2k}\pi^{2k}} \tag{3}$$ luego cambiando las sumas y explotando la definición de la $\zeta$función: $$1-z\cot z = 2\sum_{k\geq 1}\frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}z^{2k}\tag{4}$$ entonces los valores de Riemann $\zeta$función en los enteros pares se puede recuperar de la serie de Taylor de $1-z\cot z$en $z=0$. Desde $$1-z\cot z = \frac{z^2}{3}+\frac{z^4}{45}+o(z^5) \tag{5}$$ resulta que:

$$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{2}\cdot\frac{1}{45} = \color{red}{\frac{\pi^4}{90}}\tag{6}$$

como quería Un enfoque alternativo proviene de:

$$\frac{\sin(z)\sinh(z)}{z^2}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{z^4}{n^4 \pi^4}\right) \tag{7}$$ que conduce directamente a: $$\zeta(4) = -\pi^4 [z^4]\frac{\sin(z)\sinh(z)}{z^2} = -\pi^4 [z^6] \sin(z)\sinh(z) \tag{8}$$ con el mismo resultado de $(6)$.