Convergencia inteligente de componentes

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Comparando partes reales e imaginarias obtenemos:

r norte porque ⁡ θ norte → r porque ⁡ θ

r norte pecado ⁡ θ norte → r pecado ⁡ θ Así, obtenemos:

r norte porque ⁡ θ norte . r norte porque ⁡ θ norte → r porque ⁡ θ . r porque ⁡ θ

r norte pecado ⁡ θ norte . r norte pecado ⁡ θ norte → r pecado ⁡ θ . r pecado ⁡ θ

⟹ r norte 2 pecado 2 ⁡ θ norte + r norte 2 porque 2 ⁡ θ norte → r 2 pecado 2 ⁡ θ + r 2 porque 2 ⁡ θ

⟹ r norte 2 → r 2

¿Cómo concluyo de aquí que r norte → r ? ¿Debería abordar esto de manera diferente?

Editar: me di cuenta de que podía componer con la función de raíz cuadrada.

límite norte → ∞ r norte = límite norte → ∞ r norte 2 = límite norte → ∞ r norte 2 = r 2 = r

Qué quiere decir esto ? { z : z ≤ 0 }
@ 311411 Ese es el abuso de notación del autor. { z : z ≤ 0 } significa todos los números reales no positivos.

Respuestas (1)

claro, dado r norte 2 → r 2 y r norte , r ≥ 0 puedes concluir inmediatamente que r norte → r ; esto se deduce porque la función raíz cuadrada es continua y por lo tanto r norte = r norte 2 → r 2 = r automáticamente.

Dado esto, entonces se sigue que porque ⁡ θ norte → porque ⁡ θ y pecado ⁡ θ norte → pecado ⁡ θ , por lo que obtenemos θ norte → θ , como se desee.

Editar de los comentarios : Permítanme explicar esta última parte.

Primero, ¿cómo obtenemos porque ⁡ θ norte → porque ⁡ θ (y lo mismo para pecado )? El argumento es que desde r ≠ 0 y r norte → r debe existir alguna norte > 0 tal que para todos norte > norte tenemos eso r norte ≠ 0 . Esto entonces nos permite realizar la división por r norte (para norte suficientemente grande) y obtener r norte porque ⁡ θ norte r norte → r porque ⁡ θ r .

Una vez que tengamos porque ⁡ θ norte → porque ⁡ θ , podemos componer con la función inversa continua porque − 1 para obtener porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte → porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ . El problema ahora es que no conocemos el signo de, por ejemplo, porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte (podría ser θ norte o − θ norte ). Pero al menos podemos concluir que

| θ norte | = | porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte | → | porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ | = | θ | .

Si θ = 0 entonces hemos terminado, ya que | θ norte | → 0 si y solo si θ norte → 0 . En caso contrario podemos suponer θ ≠ 0 , y necesito argumentar que el signo de θ norte es eventualmente siempre el mismo que el signo de θ (es decir, para norte lo suficientemente grande). Hacemos esto simplemente usando el hecho de que pecado ⁡ θ norte → pecado ⁡ θ ; podemos suponer que θ norte ≠ 0 también (por el mismo argumento que di arriba para r norte ), en ese caso

firmar ⁡ ( θ norte ) = firmar ⁡ ( pecado ⁡ θ norte ) → firmar ⁡ ( pecado ⁡ θ ) = firmar ⁡ ( θ ) .
Pero ahora podemos simplemente multiplicar este par de secuencias convergentes y obtener:
θ norte = firmar ⁡ ( θ norte ) | θ norte | → firmar ⁡ ( θ ) | θ | = θ .
(Aquí firmar es la llamada "función de signo", que es 1 en reales positivos y − 1 en reales negativos.)

¿Cómo concluyes? porque ⁡ θ norte → porque ⁡ θ ? Estas usando r norte , r son distintos de cero y luego r norte porque ⁡ θ norte r norte → r porque ⁡ θ r ?
@approximation Sí, así es. solo necesitamos eso r ≠ 0 (como en la declaración de la pregunta).
estamos cancelando r norte Sin embargo, también necesitamos que los términos en la secuencia sean distintos de cero, ¿verdad? Pero desde z norte = r norte Exp ⁡ i θ norte es una secuencia en G y G no contiene el origen, estamos garantizados r norte es distinto de cero.
@approximation Sí, lo siento, no lo expliqué más. El argumento es que desde r ≠ 0 y r norte → r debe existir alguna norte > 0 tal que para todos norte > norte tenemos eso r norte ≠ 0 . Esto entonces nos permite realizar la división por r norte (para norte suficientemente largo).
Veo a dónde estás llegando. pero ya sabemos r norte es distinto de cero ya que son el valor absoluto de z norte , una secuencia en G que no contiene origen. De este modo, r norte es distinto de cero para todos norte .
En este problema como se indica, seguro :)
Finalmente, ¿cómo concluye θ norte → θ de pecado ⁡ θ norte → pecado ⁡ θ ?
Correcto, así que una vez que tengamos porque ⁡ θ norte → porque ⁡ θ , solo componemos con la función inversa continua porque − 1 para obtener porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte → porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ . El problema ahora es que no sabemos el signo de, por ejemplo. porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte (podría ser θ norte o − θ norte . Pero al menos podemos concluir | θ norte | = | porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ norte | → | porque − 1 ⁡ porque ⁡ θ | = | θ | .
Si θ = 0 entonces hemos terminado, ya que | θ norte | → 0 si y solo si θ norte → 0 . En caso contrario podemos suponer θ ≠ 0 , y necesito argumentar que el signo de θ norte es eventualmente (por norte lo suficientemente grande) siempre el mismo que el signo de θ . Hacemos esto simplemente usando el hecho de que pecado ⁡ θ norte → pecado ⁡ θ ; podemos suponer que θ norte ≠ 0 también (por el mismo argumento que di arriba para r norte ), en ese caso firmar ⁡ ( θ norte ) = firmar ⁡ ( pecado ⁡ θ norte ) → firmar ⁡ ( pecado ⁡ θ ) = firmar ⁡ ( θ ) .
Pero ahora podemos simplemente multiplicar este par de secuencias convergentes y obtener: θ norte = firmar ⁡ ( θ norte ) | θ norte | → firmar ⁡ ( θ ) | θ | = θ . (Aquí firmar es la llamada "función de signo".)
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