¿Por qué cerrado en la definición de una estructura simpléctica?

Primero algo de terminología:

1. Una forma 2 no degenerada$\omega$se llama una estructura casi simpléctica .

2. Una forma cerrada de 2$\omega$a menudo se denomina estructura presimpléctica .

3. Si la forma 2$\omega$es a la vez no degenerado y cerrado, se convierte en una estructura simpléctica .

En el caso no degenerado, la condición de cierre

$$\mathrm{d}\omega~=~0\tag{C}$$ es equivalente a la identidad de Jacobi (JI) para el corchete de Poisson correspondiente (PB). En otras palabras, por el contrario, una violación de la condición de clausura (C) significaría una violación del JI.

Además, en el caso no degenerado, la condición de cierre (C) (o equivalentemente, el JI) es la condición de integrabilidad que asegura la existencia local de las coordenadas de Darboux (también conocidas como coordenadas canónicas ), cf. Teorema de Darboux . Por el contrario, la existencia de coordenadas de Darboux en un barrio local$U$implica la condición de cierre (C) en esa vecindad.

Para obtener más información, consulte también, por ejemplo, Wiki pe dia$^1$; this , this y this relacionados SE publicaciones; y enlaces en el mismo.

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$^1$ Wikipedia (agosto de 2015) tiene una sección concisa sobre las motivaciones que surgen de la mecánica hamiltoniana, cf. comentario anterior de ACuriousMind. Wikipedia sostiene que

$$\mathrm{d}H(V_H)~\equiv~\omega(V_H,V_H)~=~0\qquad\text{and}\qquad 0~=~{\cal L}_{V_H}\omega~\equiv~i_{V_H}\mathrm{d}\omega.$$ A continuación suponga que$\omega$no es degenerado. Para completar el argumento de Wikipedia y deducir (puntualmente) que$\omega$es (i) alterna y (ii) cerrada, tenga en cuenta que el campo vectorial hamiltoniano$V_H$(diferencial$\mathrm{d}H$) necesita probar todas las direcciones en el espacio tangente (cotangente) del punto, respectivamente. Esto se puede lograr eligiendo el generador hamiltoniano.$H$en$2n$diferentes caminos.$\Box$