Derivación de la teoría de Hamilton-Jacobi usando transformaciones canónicas

¡Sí! Definitivamente podemos. Sin embargo, no hará la diferencia.

La idea con la ecuación de Hamilton-Jacobi es que estamos viendo no cualquier generador, sino específicamente el generador que nos lleva a las coordenadas$\{Q, P\}$tal que el nuevo hamiltoniano$K$("Kamiltonian", como Goldstein se refiere a él) ahora es 0. Por lo tanto:

$$\frac{\partial K}{\partial Q_i} = - \dot{P_i} = 0 \Rightarrow P_i = \alpha_i$$ $$\frac{\partial K}{\partial P_i} = \dot{Q_i} = 0 \Rightarrow Q_i = \beta_i$$

Entonces las nuevas coordenadas son constantes de movimiento. Esto significa que la acción siempre será en términos de las antiguas coordenadas y momentos, sin importar cómo lo definamos. Sin embargo, la acción como convención casi siempre se escribe en términos de coordenadas, dado que está dada por la integral del Lagrangiano.

¡Espero que ayude!