Conexión entre la desaparición del momento conjugado π0π0\pi^0 y la inexistencia de propagador para el campo EM libre

Las teorías de calibre se convierten en sistemas hamiltonianos restringidos al pasar del lagrangiano$L(q,\dot{q},t)$al hamiltoniano$H(q,p,t)$dónde$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$. En general, se obtiene un sistema hamiltoniano restringido siempre que la matriz/operador con componentes

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^i\partial\dot{q}^j}$$ es singular, es decir, no invertible, es decir $\det(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}\partial\dot{q}}) = 0$. Como observa correctamente, este ya es el caso de un campo vectorial masivo.

Entonces, veamos el Lagrangiano de un campo vectorial genérico:

$$L(A,\dot{A}) = \int (\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \mu^2 A^\mu A_\mu) \mathrm{d}^3x$$ Independientemente de $\mu$, los momentos canónicos son $$\pi^\mu = F^{\mu 0}$$ entonces tenemos la restricción primaria ¹ $$\pi^0 \approx 0\tag{1}$$ siempre. El hamiltoniano canónico dice $$H = \int (\frac{1}{2}\pi^i\pi_i - \frac{1}{4} F^{ij}F_{ij} - A_0 \partial_i \pi^i -\mu^2 A^\mu A_\mu)\mathrm{d}^3 x$$ y, por consistencia de la restricción, incurrimos en una restricción secundaria $$\dot{\pi}^0 = \{\pi^0,H\} = \partial_i\pi^i + \mu^2 A_0 \approx 0 \tag{2}$$ usando que el único corchete de Poisson distinto de cero de $\pi_0$es $\{A_0,\pi^0\} = 1$. La naturaleza de la teoría es ahora muy diferente dependiendo de si $\mu^2 = 0$.

Si$\mu^2\neq 0$, entonces$(2)$no impone, efectivamente, una restricción a$\partial_i \pi^i$. Resolver las dos restricciones significa simplemente poner$A_0 = -\frac{1}{\mu^2}\partial_i\pi^i$y$\pi^0 = 0$, lo que significa que reducimos la dimensión del espacio de fase en dos (olvidando efectivamente que había un par de coordenadas$(A_0, \pi^0)$) y están en una teoría libre de restricciones. En este espacio de fase reducido, la cuantización canónica ahora puede proceder como de costumbre, y no nos quedan grados de libertad de calibre. En particular, la cuantización canónica entrega un propagador, ya que el operador es invertible en los grados de libertad que quedan.

Si$\mu^2 = 0$, entonces$(2)$es solo la ley de Gauss$\nabla \cdot \vec E = 0$desde$\pi^i = F^{i0} = E^i$. Aunque en principio es posible resolver localmente esta restricción y pasar nuevamente a un espacio de fase reducido (con una dimensión menor que antes), esto no es factible o deseable en la práctica. Por lo tanto, la cuantización canónica como para los sistemas sin restricciones no es posible, y no obtenemos un propagador si intentamos calcular uno, ya que quedan grados de libertad de calibre.

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^{1$\approx$denota igualdades débiles que se mantienen en la superficie de restricción , pero no son idénticamente cero en todo el espacio de fase.}

Este es de hecho el mismo problema, desde diferentes puntos de vista. La fuente profunda del problema es que el número de$A_\mu$campos es mayor que los grados de libertad físicos reales. Aquí hay algunos comentarios:

1. El operador que está tratando de invertir no tiene un inverso porque es solo un operador de proyección (puede verificar esto mediante cálculo directo, el cuadrado del operador es el operador unitario), proyecta grados de libertad no físicos.

2. Es intuitivo que el propagador no debería existir sin la fijación de calibre, ya que hay una serie de diferentes$A_\mu$configuraciones correspondientes a un mismo estado físico. Sin embargo, una vez que arregle (completamente) el indicador, el propagador debería existir, es decir, la evolución temporal del campo libre debería ser única.

3. $\Pi^0$no existe porque no todos los componentes del$A_\mu(x)$vectorpotencial corresponde a un grado físico de libertad. Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange de$A_0$tienen que ser satisfechos, pero estos no contienen derivados de$A_0$, no son ecuaciones dinámicas, sino restricciones.

4. Una vez que corrige un indicador, puede resolver esta restricción y usar los grados de libertad reales para la cuantificación. Por ejemplo, en calibre axial$A_3=0$, esto da una nueva restricción. Los grados de libertad dinámicos serán$A_1,A_2$y$\Pi_1,\Pi_2$. Los demás los tienes que expresar por estos resolviendo las contraints.

Este no es solo un problema con la cuantificación canónica, si intenta la cuantificación integral funcional, se encuentra con el mismo problema y también debe solucionar el problema.