Unidades de componentes de velocidad y componentes de tensor métrico

Las unidades de estas cantidades varían con el sistema de coordenadas.

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Considere el espacio de Minkowski con las coordenadas espaciales cartesianas habituales. Tenemos

$$ds^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.$$ Los coeficientes métricos distintos de cero son $$\begin{align} g_{tt} = -c^2 & \sim \frac{L^2}{T^2} \\ g_{xx} = g_{yy} = g_{zz} = 1 & \sim 1. \end{align}$$ $4$-las velocidades provienen de parametrizar tus coordenadas con $\tau \sim T$y diferenciando con respecto a este parámetro. De este modo $$\begin{align} v^t & \sim \frac{T}{T} = 1 \\ v^x,\ vy,\ vz & \sim \frac{L}{T}. \end{align}$$

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En su lugar, podríamos considerar coordenadas cilíndricas con

$$ds^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + \mathrm{d}z^2.$$ Ahora nuestros coeficientes métricos distintos de cero son $$\begin{align} g_{tt} = -c^2 & \sim \frac{L^2}{T^2} \\ g_{rr} = g_{zz} = 1 & \sim 1 \\ g_{\theta\theta} = r^2 & \sim L^2. \end{align}$$ y nuestras componentes de velocidad tienen unidades $$\begin{align} v^t & \sim \frac{T}{T} = 1 \\ v^r,\ v^z & \sim \frac{L}{T} \\ v^\theta & \sim \frac{1}{T}. \end{align}$$

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solo podrías tener$v^\alpha \sim 1/T$ siempre si siempre interpretó sus coordenadas como adimensionales pero aun así insistió en que el tiempo propio tenía unidades de tiempo. Nunca he visto a nadie hacer esto, y ciertamente es una forma extraña de hacer las cosas. Más allá de eso, al insistir$g_{\alpha\beta} \sim L^2$, incluso para los componentes de tiempo-tiempo y tiempo-espacio, obtienes que los elementos de volumen adecuados son "longitudes" puras:

$$\mathrm{d}V = \sqrt{-g} \, \mathrm{d}x^0 \, \mathrm{d}x^1 \, \mathrm{d}x^2 \, \mathrm{d}x^3 \sim L^4 \not\sim L^3 T.$$ Es decir, la propia coordenada temporal está asociada con una "longitud" en lugar de un "tiempo".