Bases de Schrödinger con hamiltoniano dependiente del tiempo

Question

Bases de Schrödinger con hamiltoniano dependiente del tiempo

Física
adiabático
evolución del tiempo
mecánica cuántica

usuario82235

Estaba leyendo la prueba del teorema adiabático (en Sakurai) y me di cuenta de que no estoy muy seguro de cómo se comportan los kets de la base de Schrödinger cuando tenemos un hamiltoniano dependiente del tiempo. Sé que con un hamiltoniano independiente del tiempo, los kets básicos no cambian en la imagen de Schrödinger.

Así que si $|n;t\rangle$ son los autos de energía de $H(t)$ en el momento $t$ y $|\alpha;t\rangle$ es un estado arbitrario en el tiempo $t$ , es lo siguiente en absoluto cierto?

\begin{aligned} | α; t ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} (t) | norte; t ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} (t) {mi}^{i θ_{norte} (t)} | norte, t_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} |\alpha;t\rangle = \sum_n c_n(t)|n;t\rangle = \sum_n c_n(t) e^{i\theta_n(t)}|n,t_0\rangle \end{align*}$ dónde

θ_{n} (t) = - \frac{1}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (t^{'}) d t^{'}

$\theta_n(t) = -\frac{1}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t')\,dt'$ y

e^{i θ_{n} (t)}

$e^{i\theta_n(t)}$ es un operador de evolución temporal

Wikipedia y Sakurai tienen (cada uno en notación diferente):

\begin{aligned} | α; t ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} (t) {mi}^{i θ_{norte} (t)} | norte; t ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} |\alpha;t\rangle = \sum_n c_n(t) e^{i\theta_n(t)}|n;t\rangle \end{align*}$ Siento que no estoy entendiendo esto correctamente en absoluto

Respuestas (1)

Bases de Schrödinger con hamiltoniano dependiente del tiempo

Motl de Luboš · Answer 1

Se supone que la base del espacio de Hilbert en la imagen de Schrödinger es independiente del tiempo, independientemente de las propiedades del hamiltoniano. El hamiltoniano es solo otro operador. Si el hamiltoniano depende del tiempo, sus estados propios y valores propios obviamente también dependen del tiempo.

Las dos ecuaciones que escribes solo expresan el hecho de que la base de los estados propios de $H(t)$ sigue siendo una base, por lo que un vector ket general, incluido el vector de estado real del sistema, puede expandirse como una superposición lineal de estos vectores básicos con algunos coeficientes complejos generales $c_n(t)$ . Las dos expansiones solo se diferencian por la fase que uno incluye en los coeficientes $c_n(t)$ o en los vectores base $|n;t\rangle$ . Una convención incluye la fase $\exp(i\theta_n(t))$ , otro no, y así sucesivamente. Obviamente, no existe una regla "universalmente obligatoria" que dicte la fase correcta de estos vectores, por lo que hay cierta libertad en la notación. Tenga en cuenta que un factor de fase multiplicado por un estado propio sigue siendo un estado propio.

Cualquiera que sea su convención para las fases, si sigue cuidadosamente las matemáticas y recuerda lo que significan los símbolos, las ecuaciones definitorias, podrá derivar las afirmaciones invariantes sobre el teorema adiabático. Las convenciones de Wikipedia-Sakurai tratan las fases con sabiduría y naturalidad, para acelerar las derivaciones.

Bases de Schrödinger con hamiltoniano dependiente del tiempo

usuario82235

Respuestas (1)

Motl de Luboš

Evolución adiabática de la superposición de estados.

Solución general de estados de hamiltonianos dependientes del tiempo

Ecuación de continuidad QM: ¿Versión de muchos cuerpos para el operador de densidad?

¿Operador de ordenación temporal que actúa sobre exponencial?

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Dependencia temporal de una función de un operador

Evolución del tiempo en el espacio de estado abstracto de la mecánica cuántica

Ecuación de Schrödinger para hamiltoniano dependiente del tiempo y conjugación

Teorema adiabático y fase de Berry

Riguroso argumento de bombeo de Laughlin