Riguroso argumento de bombeo de Laughlin

Resolví el problema. Explicaré en detalle cómo la existencia de un operador conservado por la evolución adiabática nos permite dar sentido al argumento del flujo espectral. Comencemos con el problema de la partícula en un anillo. Aquí el hamiltoniano (para un flujo insertado estático$\Phi$) es:

$$\mathcal{H} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left( -i \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\Phi}{\Phi_0} \right)^2$$

Siempre podemos diagonalizar ambos$p_{\phi}$y$\mathcal{H}$y obtenga una base completa del estado propio para el espacio de Hilbert de la partícula individual en un anillo. El estado propio en$\Phi = 0$son$\lbrace e^{i m \phi} \rbrace$. con energia$E_n = \frac{\hbar^2}{2m r^2} m^2$. Si insertamos un flujo dependiente del tiempo$\Phi (t)$obtenemos:

$$\mathcal{H} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left( -i \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\Phi (t)}{\Phi_0} \right)^{2}$$

El operador de cantidad de movimiento (hasta un$\hbar$) es$p_{\phi} = - i \frac{\partial}{\partial \phi}$que se conserva por el encendido adiabático del flujo:$\left[ \mathcal{H}(t), \frac{\partial}{\partial \phi} \right] = 0$.

Si comenzamos la evolución con un estado propio${\psi (t = 0)}$del operador conservado:

$$p_{\phi} {\psi(t = 0)} = m {\psi(t = 0)}$$ la evolución adiabática$U(t)$conserva este estado:

$$U(t) p_{\phi} U^{-1}(t) U(t) {\psi(t = 0)} = m U(t) {\psi(t = 0)}$$

$$p_{\phi} {\psi(t)} = m {\psi(t)}$$

Así, incluso si por$\frac{\Phi}{\Phi_0} = \frac{1}{2}$hay una doble degeneración, los autoestados con diferentes$m$Los valores no se mezclan. En otras palabras, después de la inserción adiabática del flujo, el número$m$se conserva pero la energía ha aumentado:$E_{n} = \frac{\hbar^2}{2m r^2} \left(m + 1 \right)^2$. Básicamente el estado$\psi_{m}$se ha mudado a$e^{-i \phi} {\psi_{m+1}}$, donde la transformación de calibre se ha hecho explícita.

Ahora vemos el argumento del bombeo de Laughlin. Aquí el impulso$p_{\phi}$se conserva por la evolución y, de hecho, en el calibre simétrico su valor propio es el número cuántico interno a cada nivel de Landau. Empezamos en un estado propio${\psi_m}$del operador momento en el nivel más bajo de Landau. No hay mezcla con niveles más altos de Landau y el estado final debe tener un valor propio$m$. El espectro del hamiltoniano después de la inserción del flujo se puede vincular al espectro del mismo antes de la inserción a través de una transformación de calibre:$e^{-i\phi} \phi_{m}$. El vector propio con valor propio$m$es$e^{-i\phi} \phi_{m+1}$desde la exponencial$e^{-i \phi}$baje el valor propio en uno. El$r$dependencia de$\phi_{m+1}$es$r^{m+1}$así, el estado se mueve hacia afuera después de una inserción adiabática, mientras mantiene su$\phi$dependencia.