Teorema adiabático y fase de Berry

Por lo que puedo comprobar, el teorema adiabático de la mecánica cuántica puede probarse exactamente cuando no hay cruce entre los niveles de energía (pseudo)evolucionados en el tiempo. Para ser un poco más explícito, uno describe un sistema usando el hamiltoniano H ( s ) verificando H ( s = 0 ) = H 0 y H ( s = 1 ) = H 1 , con s = ( t 1 − t 0 ) / T , t 0 , 1 siendo el tiempo inicial (final) del cambio de interacción. Entonces, en el momento t 0 , uno tiene

H ( 0 ) = ∑ i ε i ( 0 ) PAGS i ( 0 )

con el PAGS i siendo los proyectores de los estados propios asociados con el valor propio ε i ( 0 ) , que suponemos conocido, es decir H 0 se puede diagonalizar exactamente. Entonces, se supone que la evolución temporal de los estados propios está dada por

H ( s ) = ∑ i ε i ( s ) PAGS i ( s )

lo cual es bastante bueno porque solo requiere que podamos diagonalizar el hamiltoniano en cualquier momento, lo que siempre podemos hacer con el criterio de hermiticidad. El teorema adiabático (ver el libro de Mesías, por ejemplo)

límite T → ∞ tu T ( s ) PAGS j ( 0 ) = PAGS j ( s ) límite T → ∞ tu T ( s )

con el operador tu T ( s ) verificando la ecuación de Schrödinger

i ℏ ∂ tu T ∂ s = T H ( s ) tu T ( s )

puede probarse exactamente si ε i ( s ) ≠ ε j ( s ) en cualquier momento (ver, por ejemplo , Mesías o Kato).

Ahora, se supone que la fase de Berry no es tan pequeña que desaparece cuando tenemos una curva paramétrica que se enrolla cerca de una degeneración, es decir , precisamente cuando ε i ( s ) ≈ ε j ( s ) . Para más detalles, Berry define la fase geométrica como

γ norte ( C ) = − ∬ C d S ⋅ V norte ( R )

con (adapté la notación de Berry a la mía)

V norte ( R ) = ℑ { ∑ metro ≠ norte ⟨ norte ( R ) | ∇ R H ( R ) | metro ( R ) ⟩ × ⟨ metro ( R ) | ∇ R H ( R ) | norte ( R ) ⟩ ( ε metro ( R ) − ε norte ( R ) ) 2 }

para una trayectoria a lo largo de la curva C en el espacio de parámetros R ( s ) . En particular, Berry define la evolución adiabática como consecuencia del hamiltoniano H ( R ( s ) ) , por lo que una evolución paramétrica con respecto al tiempo s . Estas son las ecuaciones (9) y (10) del artículo de Berry.

Más adelante (sección 3), Berry argumenta que

Los denominadores de energía en [la ecuación para V norte ( R ) dado arriba] muestran que si el circuito C se encuentra cerca de un punto R ∗ en el espacio de parámetros en el que el estado norte está involucrado en una degeneración, entonces V norte ( R ) y por lo tanto γ norte ( C ) , está dominado por los términos metro correspondiente a los demás estados involucrados.

Lo que me molesta es que el argumento de la fase de Berry usa explícitamente el teorema adiabático. Así que mi pregunta es desesperadamente simple: ¿qué diablos está pasando allí? ¿Podemos reconciliar el teorema adiabático con la elaboración de la fase de Berry? ¿Es la fase de Berry una especie de corrección (en un sentido de expansión perturbativa) del teorema adiabático? ¿Hay algún criterio de proximidad a la degeneración que deba exigirse para encontrar la fase Berry?

REFERENCIAS:

¿Podría hacer una pregunta más específica que "qué está pasando"? ¿Qué significa "Qué está pasando"? Usted describió lo que está pasando. También están sucediendo otras cosas, pero no está claro cuál de ellas encuentra interesante o confusa. Seguramente no hay contradicción en el texto que escribiste. Algunos teoremas se cumplen cuando los épsilons están separados de manera segura, algunos efectos aparecen cuando no lo están, y así sucesivamente.
@LubošMotl Gracias por su comentario, mi pregunta fue escrita a toda prisa. He tratado de agregar preguntas más enfocadas y más detalles. En resumen, quiero saber si la fase de Berry y el teorema adiabático son compatibles y hasta qué punto lo son (si lo son). Por favor, dígame si lo que agregué todavía es insuficiente para tener algún sentido. Gracias de nuevo.
La fase de bayas y el teorema adiabático son compatibles. Algunas declaraciones del teorema adiabático omiten mencionar la fase de la función de onda final. La fase de bayas es una elaboración en la que dice explícitamente cuál es ese factor de fase. Eso es todo al respecto.
@DanPiponi Gracias por tu comentario. ¿Diría entonces que la proximidad a un punto de degeneración no es un problema en absoluto, y que el teorema adiabático se puede expandir para incluir el(los) punto(s) de degeneración? En caso afirmativo, ¿podría elaborar un poco más al respecto? Gracias por adelantado.
@Oaoa: Me pregunto si parte del problema es la antigüedad de las referencias que está utilizando. Fueron escritos antes del artículo de Berry. Podrían estar (implícitamente) redefiniendo los estados para eliminar la fase de Berry, sin considerar el efecto de los bucles cerrados en el espacio de parámetros. Quizás solo una referencia más moderna como Nakahara aclararía esto. Además , la proximidad a los puntos de degeneración no es un problema, si vas lo suficientemente lento, es pasar por puntos de degeneración lo que rompe el teorema adiabático y, por lo tanto, la fase de berry.
@BebopButUnsteady Gracias por tu comentario. No creo que la edad de la referencia sea el gran problema aquí. El procedimiento Messiah-Kato-Avron-Seiler-Yaffe utiliza explícitamente un enfoque de calibre (bueno, la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, si lo prefiere). Creo que hay algo que olvidamos en la prueba, que está relacionado con la fase Berry (quizás lo que se olvida es precisamente la fase Berry, pero aún no estoy seguro de eso).
@BebopButUnsteady Además, tiene razón para el problema de proximidad , por supuesto, debería haber dicho encerrar o no el punto de degeneración, pero no me siento cómodo con esta noción: ¿qué significa girar alrededor de un punto en un círculo que no contiene este punto, como lo hizo Berry (y antes que él Dirac para el cálculo del monopolo)? Así que tal vez debería pensar de la siguiente manera: i) ahí está la prueba del teorema adiabático. ii) hay algunos problemas con él, relacionados con el grupo de holonomía. iii) ¿cuándo son relevantes estos problemas? Intentaré poner una primera respuesta siempre que tenga una buena imagen.

Respuestas (2)

Se requiere el teorema adiabático para derivar la ecuación de fase de Berry en mecánica cuántica. Por tanto, el teorema adiabático y la fase de Berry deben ser compatibles entre sí. (Aunque las derivaciones geométricas son posibles, por lo general no emplean la mecánica cuántica. Y mientras iluminan lo que sucede matemáticamente, oscurecen lo que sucede físicamente).

La cuestión de los puntos de degeneración es un poco más sutil, pero déjame aclarar una cosa: si uno cruza un punto de degeneración, el teorema adiabático ya no es válido y no se puede usar la ecuación de fase de Berry que has escrito en la pregunta (la denominador se convertirá en cero en el punto de degeneración).

Ahora, tomemos el ejemplo del espín en el campo magnético como una ilustración de la fase Berry. Supongamos que tenemos una partícula de espín-1/2 en un campo magnético. El espín se alineará con el campo magnético y estará en el estado de baja energía. mi = mi − . Ahora, decidimos cambiar adiabáticamente la dirección del campo magnético, manteniendo fija la magnitud. Adiabáticamente significa que la probabilidad de que la partícula de espín 1/2 haga la transición a la mi = mi + estado es evanescentemente pequeño, es decir ℏ / Δ t << mi + − mi − . Suponga ahora que el campo magnético traza el bucle de abajo, comenzando y terminando en el punto rojo:

Fase de bayas

En este caso, uno recogerá una fase de Berry igual a:

Fase de bayas = γ = − 1 2 Ω

dónde Ω es el ángulo sólido subtendido. Esta fórmula se prueba en la sección 10.2 de Griffiths QM. Sin embargo, no es tan importante entender el panorama general.

Elegí este ejemplo porque hay un par de cosas a tener en cuenta que lo hacen relevante para su pregunta:

1) El teorema adiabático es crítico en este problema para definir la fase de Berry. Dado que la fase de Berry depende del ángulo sólido, cualquier transición a la mi = mi + estado habría destruido el significado de trazar el ángulo sólido.

2) El punto de degeneración se encuentra en el centro de la esfera donde B = 0 , dónde B es el campo magnético. Aunque el giro puede atravesar cualquier bucle en la esfera, no puede pasar por este punto de degeneración para que la fase Berry tenga algún significado. Sin embargo, este punto de degeneración es el responsable último de la adquisición de la fase Berry. En cierto sentido, debemos "dar la vuelta al punto de degeneración sin pasar por él" para que uno obtenga una fase Berry.

Muchas gracias por tu respuesta realmente esclarecedora. Entonces, si entiendo correctamente, el teorema adiabático siempre presenta una fase de Berry, pero generalmente este factor de fase es solo 1 (o la fase = 0 ≡ 2 π ) y no hay ningún efecto asociado con él. Cuando hay un punto de degeneración en algún lugar, por el contrario, la fase puede ser ≠ 0 ≡ 2 π y hay efectos asociados con él. La pregunta que queda es: ¿qué significa en algún lugar ? ¿La distancia con la degeneración es una noción clara? ¿Qué define el espacio? Tal vez debería hacer otra pregunta sobre eso. Gracias de nuevo.
Bueno, publiqué otra pregunta sobre el espacio en el que ocurre la degeneración: physics.stackexchange.com/questions/128754
Bueno, el teorema adiabático solo da una fase de Berry para cerrado bucles Esta es una condición muy estricta, lo que significa que debe terminar donde comenzó en el espacio de parámetros. Si no hay un circuito cerrado, el factor de fase es el habitual "solo una fase" que se puede medir. Lo siento, me tomó tanto tiempo volver a usted.
No hay problema por la demora, en realidad estaba pensando que había sido demasiado entusiasta hace unos días. Tienes toda la razón, la fase Berry solo existe como una obstrucción topológica. Gracias de nuevo por su respuesta, que me puso de nuevo en el camino correcto.
@Xcheckr El gif ha sido eliminado. ¿Es similar a esta Fase geométrica de Berry: una revisión ?
@LK Sí, fue uno similar. Gracias por señalar esto.

La compatibilidad con el teorema adiabático ha quedado clara con la respuesta de @Xcheckr. Sólo me gustaría añadir algo de información sobre el tema de la degeneración.

Esta degeneración, que da lugar a la adquisición de una fase Berry no trivial, vive en el espacio de parámetros abstractos. En general, no debe ser atravesado por el camino cerrado interesado de la evolución del parámetro adiabático de alguna manera porque es una singularidad (defecto topológico) en términos de la construcción adiabática. Y con respecto al spin- 1 2 ejemplo de un 3 D espacio de parámetros, la degradación en B = 0 no es más que un monopolo magnético del campo de calibre ficticio de la curvatura de Berry definido en el espacio de parámetros. La presencia de tal monopolo hace que el tu ( 1 ) paquete no trivial, por lo tanto, el π 2 ( S 2 ) = Z clasificación.

En palabras simples, una vez que tiene un monopolo, no es de extrañar que obtenga una fase Berry distinta de cero al calcular el flujo magnético ficticio cubierto por el ángulo sólido subtendido. Si conoce el semimetal de Weyl, que tiene una k → ⋅ σ → hamiltoniano en 3 D cerca del cruce de la banda (punto de Weyl), usted sabe inmediatamente que el antedicho B = 0 la degeneración corresponde directamente a la k = 0 punto Weyl.

Teorema adiabático y fase de Berry
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