Ecuación de continuidad QM: ¿Versión de muchos cuerpos para el operador de densidad?

Question

Ecuación de continuidad QM: ¿Versión de muchos cuerpos para el operador de densidad?

Física
evolución del tiempo
mecánica cuántica
segunda cuantización

Onda y Materia

Estoy tratando de refrescar mi intuición oxidada sobre la segunda cuantización y los sistemas de muchas partículas y me encontré con el siguiente problema:

En QM de 1 partícula tenemos la ecuación de continuidad

\frac{\partial}{\partial t} (ψ ψ^{*}) = \frac{i ℏ}{2 metro} (ψ^{*} △ ψ - ψ △ ψ^{*})

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\psi\psi^*\right)=\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^*\triangle\psi-\psi\triangle\psi^*\right)$ Ahora, en la física de muchas partículas (¡partículas libres!) También espero que el operador de densidad espacial (o: operador numérico en base espacial) evolucione o se "difunda" de alguna manera, si empiezo con condiciones iniciales espacialmente no homogéneas. Por lo tanto, comencé a preguntarme cómo se ve realmente la ecuación de evolución de este operador. Mi expectativa ingenua es una analogía directa con la función de onda:

\frac{\partial}{\partial t} (\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}) = \frac{i ℏ}{2 metro} ({\hat{ψ}}^{†} △ \hat{ψ} - \hat{ψ} △ {\hat{ψ}}^{†})

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right)=\frac{i\hbar}{2m}\left(\hat{\psi}^{\dagger}\triangle\hat{\psi}-\hat{\psi}\triangle\hat{\psi}^{\dagger}\right)$ Si trato de calcularlo realmente, obtengo:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}) = [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, \hat{H}] = [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, \frac{ℏ^{2}}{2 metro} △ \hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}]

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right)=\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\hat{H}\right]=\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\frac{\hbar^{2}}{2m}\triangle\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right]$ o

\frac{\partial}{\partial t} (\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}) = \frac{- i ℏ}{2 metro} [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, △ \hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}] = \frac{- i ℏ}{2 metro} [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, △] \hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†} - \frac{i ℏ}{2 metro} △ [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, \hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}]

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right)=\frac{-i\hbar}{2m}\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\triangle\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right]=\frac{-i\hbar}{2m}\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\triangle\right]\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}-\frac{i\hbar}{2m}\triangle\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right]$ y finalmente

\frac{\partial}{\partial t} (\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}) = \frac{- i ℏ}{2 metro} [\hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†}, △] \hat{ψ} {\hat{ψ}}^{†} .

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}\right)=\frac{-i\hbar}{2m}\left[\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger},\triangle\right]\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}.$ Ahora la pregunta en realidad es: ¿Cuál es el conmutador del operador numérico y el laplaciano? (Por qué no puedo responder esto yo mismo: no tengo intuición sobre cómo actúa el laplaciano en un estado de muchas partículas).

Emilio Pisanty

eso es... una extraña ecuación de continuidad para el caso de una sola partícula; ¿No le falta una divergencia? En cualquier caso, ya que estás feliz de simplemente sombrear el

ψ

$\psi$ s, ¿por qué no mantener exactamente la misma forma que la partícula individual pero con los sombreros puestos?

Onda y Materia

Las divergencias que faltaban eran un error tipográfico (nabla en lugar de laplacian), gracias por señalarlo. Entonces, después de corregir este error tipográfico, la suposición para la segunda versión cuantificada en realidad es la misma que la de una sola partícula con sombreros agregados. La pregunta es si es realmente correcto y, en caso afirmativo, cómo probarlo correctamente...

Emilio Pisanty

Normalmente lo dejaría en la forma div-of-grad, pero eso es cuestión de gustos. Hazme un @ping en un par de días aquí si no obtienes una respuesta.

Respuestas (2)

Ecuación de continuidad QM: ¿Versión de muchos cuerpos para el operador de densidad?

eso es... una extraña ecuación de continuidad para el caso de una sola partícula; ¿No le falta una divergencia? En cualquier caso, ya que estás feliz de simplemente sombrear el $\psi$ s, ¿por qué no mantener exactamente la misma forma que la partícula individual pero con los sombreros puestos?
Las divergencias que faltaban eran un error tipográfico (nabla en lugar de laplacian), gracias por señalarlo. Entonces, después de corregir este error tipográfico, la suposición para la segunda versión cuantificada en realidad es la misma que la de una sola partícula con sombreros agregados. La pregunta es si es realmente correcto y, en caso afirmativo, cómo probarlo correctamente...
Normalmente lo dejaría en la forma div-of-grad, pero eso es cuestión de gustos. Hazme un @ping en un par de días aquí si no obtienes una respuesta.

marca mitchison · Answer 1

$\def\rr{{\bf r}} \def\ii{{\rm i}}$ De hecho, existe una ecuación de continuidad para la densidad de partículas. $\rho(\rr)=\Psi^\dagger(\rr)\Psi(\rr),$ donde el operador de campo $\Psi^\dagger(\rr)$ crea una partícula en la posición $\rr$ . Para derivarlo, solo necesita las relaciones de conmutación canónicas para el campo

\begin{aligned} [Ψ (r), Ψ^{†} (r^{'})] & = d (r - r^{'}), \\ [Ψ (r), Ψ (r^{'})] & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} [\Psi(\rr),\Psi^\dagger(\rr')]& = \delta(\rr-\rr'),\\ [\Psi(\rr),\Psi(\rr')]&=0 \end{align}$ junto con la forma correcta del hamiltoniano, que para partículas libres se lee como

H = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int d r Ψ^{†} (r) \nabla^{2} Ψ (r) .

$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\int{\rm d} \rr\; \Psi^\dagger(\rr)\nabla^2\Psi(\rr).$ Nótese que aquí la derivada

\nabla

$\nabla$ no es un operador en el espacio de estados cuánticos. Actúa solo en funciones valoradas por operadores (generalizadas) como

Ψ (r)

$\Psi(\rr)$ , que a su vez actúan sobre el espacio de estados. Por lo tanto, el conmutador entre el operador de campo y la derivada tiene poco sentido y no tiene relevancia para el problema.

La derivación de la ecuación de continuidad procede de la siguiente manera, usando la ecuación de movimiento de Heisenberg para $\rho(\rr)$ ,

\begin{aligned} \partial_{t} ρ (r^{'}) & = \frac{i}{ℏ} [H, Ψ^{†} (r^{'}) Ψ (r^{'})] \\ = \frac{ℏ}{2 metro i} \int d r [Ψ^{†} (r) \nabla^{2} Ψ (r), Ψ^{†} (r^{'}) Ψ (r^{'})] \\ = \frac{ℏ}{2 metro i} \int d r {Ψ^{†} (r^{'}) [Ψ^{†} (r) \nabla^{2} Ψ (r), Ψ (r^{'})] + [Ψ^{†} (r) \nabla^{2} Ψ (r), Ψ^{†} (r^{'})] Ψ (r^{'})} \end{aligned}

$\begin{align} \partial_t \rho(\rr') & =\frac{\ii}{ \hbar} [H, \Psi^\dagger(\rr')\Psi(\rr') ]\\ & = \frac{\hbar}{2m\ii} \int{\rm d}\rr\;[\Psi^\dagger(\rr)\nabla^2\Psi(\rr),\Psi^\dagger(\rr')\Psi(\rr')] \\ & =\frac{\hbar}{2m\ii} \int{\rm d}\rr\;\left \lbrace \Psi^\dagger(\rr') [\Psi^\dagger(\rr)\nabla^2\Psi(\rr),\Psi(\rr')] + [\Psi^\dagger(\rr)\nabla^2\Psi(\rr),\Psi^\dagger(\rr')] \Psi(\rr')\right\rbrace\end{align}$ Ahora, para simplificar, examinemos uno de los términos anteriores. La clave es tratar cada uno de

Ψ^{†} (r)

$\Psi^\dagger(\rr)$ y

\nabla^{2} Ψ (r)

$\nabla^2 \Psi(\rr)$ como operadores separados, ninguno de los cuales conmuta con

Ψ (r)

$\Psi(\rr)$ en general. No obstante, puede utilizar la integración por partes* para desplazar la

\nabla^{2}

$\nabla^2$ alrededor por conveniencia, lo que lleva a

\begin{aligned} \int d r Ψ^{†} (r^{'}) [Ψ^{†} (r) \nabla^{2} Ψ (r), Ψ (r^{'})] \\ = \int d r {Ψ^{†} (r^{'}) Ψ^{†} (r) [\nabla^{2} Ψ (r), Ψ (r^{'})] + Ψ^{†} (r^{'}) [Ψ^{†} (r), Ψ (r^{'})] \nabla^{2} Ψ (r)} \\ = \int d r {Ψ^{†} (r^{'}) \nabla^{2} Ψ^{†} (r) [Ψ (r), Ψ (r^{'})] + Ψ^{†} (r^{'}) [Ψ^{†} (r), Ψ (r^{'})] \nabla^{2} Ψ (r)} \\ = \int d r {0 - Ψ^{†} (r^{'}) \nabla^{2} Ψ (r) d (r^{'} - r)} \\ = - Ψ^{†} (r^{'}) \nabla^{2} Ψ (r^{'}) . \end{aligned}

$\begin{align} & \int{\rm d}\rr\; \Psi^\dagger(\rr') [\Psi^\dagger(\rr)\nabla^2\Psi(\rr),\Psi(\rr')] \\ & = \int{\rm d}\rr\; \left\lbrace\Psi^\dagger(\rr') \Psi^\dagger(\rr) [\nabla^2\Psi(\rr),\Psi(\rr')] + \Psi^\dagger(\rr') [\Psi^\dagger(\rr),\Psi(\rr')]\nabla^2\Psi(\rr) \right\rbrace \\ & = \int{\rm d}\rr\; \left\lbrace \Psi^\dagger(\rr')\nabla^2\Psi^\dagger(\rr) [\Psi(\rr),\Psi(\rr')] + \Psi^\dagger(\rr') [\Psi^\dagger(\rr),\Psi(\rr')]\nabla^2\Psi(\rr) \right\rbrace\\ & = \int{\rm d}\rr\; \left\lbrace 0 - \Psi^\dagger(\rr')\nabla^2\Psi(\rr) \delta(\rr'-\rr) \right\rbrace \\ & = -\Psi^\dagger(\rr')\nabla^2 \Psi(\rr'). \end{align}$ Juntándolo, deberías obtener

\partial_{t} ρ = - \frac{ℏ}{2 metro i} (Ψ^{†} \nabla^{2} Ψ - \nabla^{2} Ψ^{†} Ψ),

$\partial_t\rho = -\frac{\hbar}{2m\ii}\left(\Psi^\dagger\nabla^2 \Psi - \nabla^2\Psi^\dagger\Psi\right),$ a partir del cual se identifica el operador actual de partículas

j = \frac{ℏ}{2 metro i} Ψ^{†} \nabla Ψ + h . C .,

$\mathbf{J} = \frac{\hbar}{2m\ii}\Psi^\dagger\nabla \Psi + {{\rm h.c.}},$ definido tal que

\partial_{t} ρ + \nabla \cdot J = 0

$\partial_t\rho + \nabla\cdot{{\bf J}} = 0$ .

$\,$

*También se supone como de costumbre que los campos se anulan en el infinito, o más estrictamente, que el espacio de Hilbert solo contiene estados que son aniquilados por los operadores de campo en el infinito.

@EmilioPisanty ¿En serio? Pero el resultado se ve exactamente como lo esperarías, ¿verdad? PD. Estoy bastante seguro de que cometí varios errores de señal aquí que pueden o no haberse cancelado: Escribí esto en un autobús y no tengo tiempo para revisarlo ahora.
Supongo que eso lo hace un poco más inquietante. Quiero decir, sí, formalmente parece que todo es lo mismo, pero ¿qué significa realmente ? Que hace $\partial_t\rho + \nabla\cdot{{\bf J}} = 0$ decirte realmente si lo de la izquierda no es una densidad y lo de la derecha no es una corriente? (y, también, más matemáticamente, ¿qué diablos es una 'función generalizada valorada por el operador'?)
@EmilioPisanty Pero lo de la izquierda es la densidad, y lo de la derecha es la corriente. Para mí, la versión de muchos cuerpos anterior se parece más a la ecuación de continuidad clásica (CE) que a la ecuación de conservación de probabilidad de QM de una sola partícula. Expresa el hecho de que el hamiltoniano conserva localmente un número particular. Si toma su promedio, obtiene exactamente el CE clásico, pero como operador de identidad también se aplica a los momentos superiores, por lo que no puede "engañar" la conservación de partículas mediante fluctuaciones cuánticas. Si empiezas en un sector numérico, siempre te quedas ahí.
Debería intentar actualizar la respuesta con más detalles sobre esto, pero no tendré tiempo hasta el lunes como muy pronto.
Huh, sí, supongo que eso es probablemente cierto. Sin embargo, sería bueno ver exactamente cómo se ve ese argumento en el lado de las matemáticas. Entonces supongo que no estarás en Dresden el lunes ;-).

librecharly · Answer 2

La ecuación de continuidad de probabilidad de muchos cuerpos se deriva de la ecuación de Schrödinger de la misma manera que en el caso de una partícula. Suponga n partículas con coordenadas $x_{1,i},x_{2,i},x_{3,i}$ en el espacio 3-D con el operador hamiltoniano

H = \sum_{i = 1}^{norte} \sum_{j = 0}^{3} [{pag}_{i, j}^{2} / 2 metro + W_{i} (X_{j}, t)] + V (X_{1, 1}, X_{2, 1}, X_{3, 1}, X_{2, 1}, \dots, t)

$H=\sum_{i~=~1}^n\sum_{j~=~0}^3 \left[p_{i,j}^2/2m+W_i(x_{j},t)\right]+V(x_{1,1},x_{2,1},x_{3,1},x_{2,1},\ldots,t)$ La ecuación de Schrödinger para la función de onda multipartícula

ψ (x_{1, 1}, x_{2, 1}, x_{3, 1}, x_{2, 1}, \dots, t)

$\psi(x_{1,1},x_{2,1},x_{3,1},x_{2,1},\ldots,t)$ es

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ

$i\hbar ~\frac {\partial \psi}{\partial t}=H\psi$ Entonces el cambio de tiempo de la densidad de probabilidad viene dado por

\frac{\partial (ψ ψ^{*})}{\partial t} = ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} + ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} = \frac{i ℏ}{2 metro} [ψ^{*} Δ ψ - ψ Δ ψ^{*}] = \frac{i ℏ}{2 metro} \nabla [ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}]

$\frac{\partial (\psi\psi^*)}{\partial t}=\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}+\psi\frac{\partial \psi^*}{\partial t}=\frac {i\hbar }{2m}~[\psi^*\Delta \psi-\psi \Delta \psi^*]=\frac {i\hbar }{2m}~ \nabla[\psi^*\nabla \psi-\psi \nabla \psi^*]$ dónde

Δ

$\Delta$ y

\nabla

$\nabla$ son los operadores de Laplace y Gradiente, respectivamente, en el espacio de configuración 3N-dimensional. Por lo tanto, la densidad de corriente de probabilidad en el espacio de configuración 3N-d es

\vec{j} = - \frac{i ℏ}{2 metro} [ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}]

$\vec J=-~\frac {i\hbar }{2m}~[\psi^*\nabla\psi-\psi \nabla\psi^*]$ y la ecuación de continuidad de probabilidad en el espacio de configuración 3N-d se puede escribir como

\frac{\partial (ψ ψ^{*})}{\partial t} = - división \vec{j}

$\frac{\partial (\psi\psi^*)}{\partial t}=-~\textrm{div}~{\vec J}$ dónde

div

$\textrm{div}$ es el operador de divergencia en el espacio de configuración 3N-dimensional.

Bien, entonces el equivalente real a la ecuación de continuidad de una sola partícula es la misma ecuación que antes, pero formulada para la función de onda de múltiples partículas. Esto ya es interesante y me dice que la ecuación de evolución para $\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}$ probablemente no sea lo mismo, porque la cantidad que observo ya contiene menos información que la densidad de probabilidad real $\psi*\psi$ hecho de funciones de onda completas de muchas partículas. Sin embargo, lo que realmente me interesa es la evolución temporal del operador numérico. $\hat{\psi}\hat{\psi}^{\dagger}$ .
Sin embargo, eso no está realmente en el espíritu de lo que se preguntó. Seguramente puede plegar esa divergencia tridimensional y la corriente en un espacio 3d real, con un vector de corriente 3d de muchos cuerpos real.

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