Evolución adiabática de la superposición de estados.

Intentaré una respuesta parcial para que la bola ruede.

Bajo la aproximación adiabática , las fases se calculan de la siguiente manera:

Bajo un hamiltoniano que cambia lentamente$H ( t )$con autoestados instantáneos$| n (t)\rangle$y energías correspondientes$E_n ( t )$, un sistema cuántico evoluciona desde el estado inicial

$|\psi(0)\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n(0)\rangle$

al estado final

$|\psi(t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle$

donde los coeficientes sufren el cambio de fase

$c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}$

con la fase dinámica

$\theta_{m}(t)={\frac {-1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'$

y fase geométrica

$\gamma _{m}(t)=i\int _{0}^{t}\langle m(t')| \partial_{t'} | {m}(t')\rangle dt'.$

Los problemas que OP ha identificado con la fase aleatoria de diagonalización numérica arruinan la última expresión. Específicamente, cuando se introduce una fase aleatoria,$\partial_t |m(t)\rangle$ya no se define. Este no es solo un problema numérico, es fundamental: siempre es posible (en el límite adiabático) introducir una transformación de calibre U (1)$|n(t)\rangle \mapsto e^{-i\beta(t)} |n(t)\rangle$que se refiere al mismo estado físico.$\beta(t)$es cualquier función suave que varía lentamente. En otras palabras, la fase no es única en un punto dado de "tiempo prolongado".

Para continuar con el argumento de Berry, debemos especializarnos en el caso de que el hamiltoniano dependa de un conjunto de parámetros.$R$. En nuestro caso, generalizaremos ligeramente el hamiltoniano:

El espectro y los estados propios de$H$dependen solo de los 3 vectores$\vec{h}$, por lo que se vuelven a etiquetar$E(h)$,$|n(h)\rangle$respectivamente.

La fase de bayas es$\gamma_n = \int_0^T i\langle n | \partial_{t} | n(t)\rangle dt = \int_\mathcal{C} i\langle n | \partial_{h^i} | n(t)\rangle dl^i$, donde la expresión de la derecha es una integral de línea en$h$-espacio entre$h(t=0)$y$h(t=T)$.

Sólo en el caso especial de que$h$vuelve a su valor original en algún momento posterior, la fase Berry se vuelve invariante de calibre, es decir, experimentalmente relevante/medible.

Ahora resumo el argumento dado aquí . Suponer$\mathcal{C}$es una curva cerrada que delimita un área$S$. Definir el potencial de Berry$A_i = i\langle n(h) | \frac{\partial}{\partial h^i} | n(h) \rangle$, tal que$\gamma_n = \oint_\mathcal{C} \vec{A}\cdot d\vec{h}$. Aplicar el teorema de Stokes:

Entonces, usando

eliminar la dependencia de$\partial_j m$, uno puede reescribir la curvatura de Berry como

que es calibre invariante!$^\text{up to an overall, irrelevant factor of $2\pi$}$

Volviendo a su situación original, que corresponde al caso de que el 3D$h(t)$la curva está restringida a la$z$eje, encontramos lo siguiente:

1. El área de$S$es cero
2. La curvatura de Berry está dada por$\Omega^{\mu \nu} = i \sum_{m\neq n} \sum_i \frac{\langle n | \sigma_i^\mu | m \rangle \langle m | \sigma_i^\nu | n \rangle - ( \mu \leftrightarrow \nu) }{(E_n-E_m)^2}$.
3. A menos que la curvatura de Berry muestre una singularidad en alguna parte, la fase de Berry es cero. Sin embargo, es probable que haya una singularidad en algún lugar de$h$espacio.

Por favor, no tome estos cálculos como un evangelio, puede que falten factores de 2 o$i$.

Sus estados tienen una fase global arbitraria debido a$U(1)$simetría de calibre. Para eliminarlo, debe fijar un indicador común en todos sus estados. Una forma conveniente de hacer esto es imponer de forma iterativa el transporte paralelo, es decir, modificar la fase de su$|n_i\rangle$Estado tal que la condición$\text{Im}\langle n_{i-1}|n_i\rangle = 0$se ha completado. Tenga en cuenta que, en este caso, la fase de Berry (discretizada) no se dará como una suma de las diferencias de fase entre sus estados posteriores a lo largo de su ciclo cerrado en el espacio de Hilbert, sino simplemente como la diferencia de fase entre sus estados inicial y final,$\phi=\text{Im}\ln\langle n_{0}|n_N\rangle$.