Variables en proposiciones semánticamente equivalentes (lógica prop.)

Estoy empezando a estudiar lógica proposicional antes de un curso que voy a tomar, y estoy un poco confundido por la noción de equivalencia semántica (el doble torniquete). ¿Qué representan exactamente, por ejemplo, "A" y "B" en la afirmación A ⊨ B? ¿Son solo variables libres, o algo más? No estoy seguro de cómo las variables libres pueden tener propiedades semánticas. Además, ¿es la equivalencia semántica una relación de identidad o de vinculación? Lo he visto referido como "vinculación semántica", pero la vinculación y la equivalencia me parecen bastante diferentes. ¡Gracias por adelantado!

Son fórmulas; ver Consecuencia lógica .
Perdón por vencer a este caballo muerto, pero no creo que puedan ser fórmulas, son nombres de fórmulas, en realidad estoy bastante seguro de que este es el caso, supongo que es de conocimiento común. Toma un ejemplo real: P, P ⊃ Q ⊨ Q. Esa es una forma abreviada de decir: "P","P⊃ Q" ⊨ "Q". Es solo que la mayoría de los libros nunca lo mencionan, simplemente son demasiado perezosos para usar los dispositivos de cotización.

Respuestas (1)

Algunas observaciones:

  • "A" y "B" generalmente representan fórmulas. Por lo tanto, por sí solo, "A ⊨ B" es un esquema justo. Puede completar fórmulas específicas para obtener una declaración evaluable, por ejemplo, "P, P ⊃ Q ⊨ Q", que es verdadera (modus ponens), o "P ⊨ (P ∧ Q)", que es falsa.
  • Al menos dada la terminología estándar, "A" y "B", por lo tanto, no son variables libres. Las variables libres son un asunto de lógica de predicados . En lógica proposicional, sin embargo, no hay variables libres en absoluto.
  • El doble torniquete (⊨) no significa equivalencia semántica, sino mera vinculación semántica . Entonces, una declaración de la forma "A ⊨ B" significa que siempre que A es verdadera, B también lo es (en lógica proposicional, cualquier asignación que hace que A sea verdadera también hace que B sea verdadera).
  • La equivalencia semántica significa que (dadas dos fórmulas A y B), tanto A ⊨ B como B ⊨ A . En otras palabras, la equivalencia semántica significa que A y B se implican entre sí, o en lógica proposicional, que A y B son verdaderas bajo exactamente las mismas asignaciones.
Se debe tener cuidado aquí "P, P ⊃ Q ⊨ Q" en realidad no tiene sentido, si las fórmulas que acompañan a "⊨" no son nombres sino oraciones de lenguaje objeto.
@Johannes Lo siento, no entiendo lo que quieres decir, ¿puedes explicarlo?
"P, P ⊃ Q ⊨ Q" es una oración en el metalenguaje, generalmente interpretada como la expresión de que la oración del lenguaje objeto "Q" es una consecuencia de las oraciones "P" y "P ⊃ Q", por lo que tiene que hablar de fórmulas, por lo tanto, tiene que usar los nombres de esas fórmulas. Tenga en cuenta que, por lo tanto, en el esquema "A ⊨ B" (suponiendo que sea un esquema), las letras esquemáticas "A" y "B" toman nombres de metalenguaje como instancias. Al igual que en el esquema T: "X es verdadero iff p", este esquema se expresa en el metalenguaje, por lo que la "X" en este esquema toma como ejemplo los nombres del metalenguaje de las oraciones del lenguaje objeto... .
@Johannes Bien, ¿entonces interpretas "P" como un nombre para una oración en otro idioma (quizás un lenguaje natural)? Creo que esto al menos no es estándar; en lógica proposicional, "P" ya se toma como en lenguaje objeto. Sin embargo, incluso si considera que "P" está en metalenguaje, ¿por qué "P, P ⊃ Q ⊨ Q" no tendría sentido? Por supuesto, tendrá que definir "⊨" para el lenguaje del objeto entonces, pero esto puede (por ejemplo) hacerse en términos de mundos posibles.
@Johannes Por cierto, no creo que en el esquema T que has dado, "X" esté en meta-metalenguaje, pero lo veo más bien como una abreviatura del nombre de la oración p . Esto se debe a que aquí predicamos la verdad, por lo que en la posición de sujeto desea tener el nombre de una oración, no el nombre de un nombre de una oración.
No, simplemente está equivocado, no importa si "P" es en realidad una oración de lenguaje objeto, en el contexto "P, P ⊃ Q ⊨ Q" es parte del metalenguaje utilizado como nombre, pregunte a cualquier competente lógico, esto no se menciona a menudo en los textos de lógica, lo cual es una mala práctica. Del mismo modo, la siguiente oración no tiene sentido: "está lloviendo implica que está nublado", eso es un galimatías, tienes que decir '"está lloviendo" implica "está nublado"'. Sobre el esquema T, es cierto que sus instancias están en el metalenguaje, pero el esquema en sí no lo está, porque "X" es un marcador de posición para los nombres del metalenguaje.
Solo para que quede más claro, tenga en cuenta que "P, P ⊃ Q ⊨ Q" es una abreviatura para decir esencialmente que: "siempre que "P" y "P⊃ Q" sean verdaderas, entonces "Q" es verdadera". Entonces "⊨" expresa una relación abstracta entre fórmulas del lenguaje objeto, nótese especialmente el uso del predicado de verdad. De manera similar, "amas" expresa una relación entre humanos, por lo que tiene que tomar nombres de humanos como argumentos, "Aristóteles ama a Pitias" está bien formado porque usa los nombres de esas personas como argumentos, tratando de poner a las personas reales como argumentos. No tiene sentido, a menos que sea una extraña instalación de arte moderno.
@Johannes Ya veo, gracias por tus esfuerzos. Me parece que interpretas "P" como denotando ""P"" (entonces de hecho es un nombre metalingüístico). Por otro lado, tiendo a tratar "P, P ⊃ Q ⊨ Q" como una abreviatura conveniente para " "P", "P ⊃ Q" ⊨ "Q" ". Entonces, en el último caso, "P" no es metalenguaje en absoluto, ¿verdad?
Decir " "P", "P ⊃ Q" ⊨ "Q" " (sin las comillas externas cuando se usa la oración) es, en mi opinión, exactamente correcto, aquí ""P" "es parte del metalenguaje matemático. Entonces, en esa oración, ""P"" denota el lenguaje objeto wff "P", al igual que el nombre "Aristóteles" denota al hombre Aristóteles en "Aristóteles ama a Pythias". Entonces " "P" " se usa en " "P", "P ⊃ Q" ⊨ "Q" " al igual que "Aristóteles" se usa en la oración "Aristóteles ama a Pythias" ambos se usan como nombres de ciertos objetos, si yo Si quiero mencionar los nombres como acabo de hacer, entonces, por supuesto, escribo ""P"" y, de manera similar, "Aristóteles".
Variables en proposiciones semánticamente equivalentes (lógica prop.)
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