¿Puede la definición ser existencia (en matemáticas)?

El conjunto omega , como señala el comentario de esta pregunta , se puede definir como el conjunto más pequeño que se cierra bajo sucesión e incluye al conjunto vacío.

Esto es suficiente para definirlo unívocamente, pero para encontrarlo, es decir probar que existe, se debe usar el primer axioma de infinito en ZFC .

Así parece que definición no es existencia.

Pero, esto no parece del todo correcto. Porque seguramente el axioma del infinito se introdujo en ZFC de tal manera que un argumento como el que se muestra arriba puede tener una importancia existencial.

En esta línea de pensamiento, parece que la definición es suficiente para la existencia.

¿Es esto correcto?

Yo diría que no, y señalaría nuestra comprensión y experiencia coherentes del infinito matemático que se condensa dualmente en definición y axioma.

¿Es esto correcto también?

(Esto, creo, parece tener ciertas relaciones tangenciales con las diversas formas de los argumentos ontológicos de Dios, en los que no quiero entrar aquí).

(También parece tener cierta afinidad con la noción de esencia que precede a la existencia).

Lo siento, no entiendo la pregunta. Es la pregunta: Does the fact that some entity can be defined entail that that entity exists?Si es así, la respuesta es no. Un unicornio es un caballo con un cuerno, pero no existen tales cosas. O quizás la pregunta es: Are there any things which, by definition, exist?allí la respuesta es menos clara. Anselmo, por ejemplo, argumentó que Dios era un ser así, pero su prueba es controvertida, como estoy seguro de que sabes.
No dije esto en la pregunta, pero el alcance está dentro de las matemáticas, por lo que esto descartaría a su unicornio ficticio. Editaré la pregunta en consecuencia.
y en cuanto a su segundo comentario, claro, por eso agregó una breve nota sobre la prueba notológica de Dios, así como la esencia que precede a la existencia.

Respuestas (3)

Las teorías de conjuntos no necesitan postular la existencia a priori de ningún objeto o estructura. Sin embargo, ZFC postula la existencia del conjunto vacío (es cero) y una especie de función sucesora basada en el conjunto vacío como punto de partida. El conjunto resultante podría tener una cantidad infinita de términos basura que deben seleccionarse utilizando el axioma de separación (subconjunto), dejando solo el conjunto de números naturales, es decir, un subconjunto que satisface los axiomas de Peano.

También podría simplemente postular la existencia de algún conjunto infinito de Dedekind fuera de la teoría de conjuntos, no un gran acto de fe. (Si tal conjunto no existe, el universo sería un lugar muy aburrido). Entonces puedes extraer un subconjunto de él que satisfaga PA.

Habiendo demostrado la existencia de un conjunto que satisface PA por uno de estos medios, estaría bastante justificado comenzar su desarrollo de teoría y análisis de números simplemente definiendo los números naturales usando PA.

No estoy de acuerdo con "Las teorías de conjuntos no necesitan postular la existencia a priori de ningún objeto o estructura". En términos modernos, interpretamos una teoría con un "universo de discurso" que tiene un dominio no vacío. Por lo tanto, si ZFC es consistente , tiene un modelo con "propiedades" que satisfacen los axiomas de ZFC. Así, el universo de esos modelos debe contener un "conjunto vacío", un conjunto infinito, etc. Lo básico de esos modelos son los conjuntos .
@MauroALLEGRANZA ¿Demasiados niveles de abstracción innecesarios? Creo que puede tener una teoría de conjuntos viable como la describo. Es la base de la versión simplificada de ZFC que uso en mi programa DC Proof. Con él, puedo decir con cierta confianza que probablemente puedas construir los números reales usando los axiomas de Peano como premisa inicial. (Un gran proyecto que requiere decenas de miles de líneas de prueba formal, de las cuales he completado quizás 3/4).

En lógica y matemáticas: NO

Considere la conocida paradoja de Russell : (intentamos) definir un conjunto R que satisface una cierta condición, solo para probar una contradicción. Conclusión: ese conjunto no existe.

Considere un caso "paradigmático" como el conjunto vacío en ZF.

Primero demostramos que existe un conjunto sin elementos, luego agregamos al lenguaje de la teoría un nuevo símbolo (una constante individual ) que lo denota.

Todas las conclusiones "ontológicas" son aptas para ti...

Sin embargo, el problema clave aquí es la inconsistencia . Si usa lógica paraconsistente , de hecho puede definir dicho conjunto, y también probar cosas al respecto. Creo que la pregunta que hago se encuentra en algún lugar de la filosofía del formalismo.
@MoziburUllah - Creo que estás "eludiendo" el problema. Hasta donde yo sé, la teoría de conjuntos paraconsistentes puede probar la existencia del conjunto de Russell; pero todavía está interesado en la existencia de modelos (ver, por ejemplo, Greg Restall, A Note on Naive Set Theory en LP (1992) o Ross Brady, The simple consistencia de una teoría de conjuntos basada en la lógica CSQ (1983), ambos en NDJouFormLog ) . Podemos disociar la consistencia de la existencia de un modelo , pero aún así el problema permanece. Cuando en ZF enunciamos el axioma del infinito , no estamos creando por decreto un conjunto infinito. 1/2
Solo estamos restringiendo la clase de modelos posibles a aquellos con un dominio infinito. Pero todavía nos preguntamos: ¿existen tales modelos? La definición de conjunto infinito no es suficiente para concluir con la existencia de un conjunto infinito. 2/2

En matemáticas normales (por encima del nivel de la teoría de conjuntos) es un procedimiento estándar definir un objeto y luego mostrar que existe al menos uno de esos objetos .

Por ejemplo, definimos un Grupo como un conjunto con una operación binaria que satisface tal y cual. Luego, lo siguiente que hacemos es dar algunos ejemplos de grupos: los números enteros en la suma, los reales distintos de cero en la multiplicación, las simetrías de una cama. Las camareras del Hotel Hilbert están familiarizadas con eso.

Ese es todo el propósito, por ejemplo, de la construcción de corte de Dedekind de los números reales. Nadie lo usa nunca. Lo ves una vez y te olvidas. ¿Por qué es importante?

Es importante porque si definimos los números reales como un campo ordenado completo de Arquímedes, puedes hacer todo el análisis real con esos axiomas. Son todo lo que necesitas.

Pero podría construir todo el análisis real a partir de esos axiomas, y no sabría si existe tal conjunto. Entonces, solo una vez, regrese a lo básico y muestre cómo, dados los axiomas de la teoría de conjuntos, puede construir un conjunto que tenga esas propiedades.

Una vez que hagas eso, puedes simplemente usar los axiomas de los números reales. Nunca más te preocupas por la prueba de existencia.

Pero es esencial proporcionar una prueba de existencia junto con una definición. Podría definir un unicornio púrpura como un unicornio que es púrpura. Podría describir la biología de un unicornio púrpura y escribir libros sobre la cría de unicornios púrpura. Pero todo sería vacío. No hay ningún objeto que se ajuste a la definición.

Las pruebas de existencia son obligatorias.

No estoy seguro de entender tu argumento. 1) Usted dice: "comience con los axiomas para el campo ordenado completo de Arquímedes [llámelo: A-axiomas], y con ellos desarrolle un análisis real". Pero cuando dices: "y no sabrías si existe tal conjunto"; ¿Quieres decir: los reales ? Pero los reales son los elementos en el dominio de todo modelo de los axiomas de los cuerpos completos ordenados de Arquímedes. 2) Cuando dices: "vuelves a lo básico y muestras cómo, dados los axiomas de la teoría de conjuntos, puedes construir un conjunto [supongo: satisfaciendo los axiomas A] que tiene esas propiedades" estás demostrando que... 1 /2
... en el dominio de cada modelo que satisface los axiomas de la teoría de conjuntos, hay objetos que satisfacen los axiomas A. ¿Cuál es la diferencia "esencial"? ¿Por qué tenemos licencia para "nunca más preocuparnos por la prueba de existencia"? Hemos "reducido" la existencia de los reales a la de los conjuntos , y esto es un enorme paso adelante para las matemáticas, pero desde un punto de vista "ontológico" o "epistemológico", me parece que no hemos hecho ningún progreso real. Habiendo definido los reales como "conjuntos especiales", ¿estamos prescindiendo de una prueba de "existencia"? 2/2
@Mauro ALLEGRANZA Es mi ejemplo de unicornio morado. Puedo escribir los axiomas de los reales. Pero, ¿y si no existe tal objeto que satisfaga esos axiomas? Entonces todo lo que demuestro sobre los reales es vacuo. ¿Cómo sabes que hay CUALQUIER objeto matemático que satisfaga esos axiomas? Necesitamos una prueba de existencia. Por supuesto, no hemos demostrado la existencia absoluta ... sólo la existencia relativa a los axiomas de la teoría de conjuntos. Para los matemáticos que trabajan, eso es suficiente. Si creemos en conjuntos, entonces estamos justificados para creer en los reales.
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